[論文レビュー] On the Viscous Camassa-Holm Equations with Fractional Diffusion

Zaihui Gan, Fanghua Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元における分数拡散を伴う粘性カマッサ＝ホルム方程式について、グローバルな適切性と即時正則性の付与を確立する。初期データが $ D(A) $ に属する場合、解の存在と一意性を $ C_{[0,+\frown{\text{infty}})}(D(A)) \cap L^{2}_{[0,+\frown{\text{infty}}),loc}(D(A^{1+s/2})) $ において示し、$ s \in [n/4,1) $、$ n=2,3 $ の鋭い分数階数を特定する。主な結果は、臨界ケース $ (n,s)=(2,1/2) $ における正則性の向上であり、時間および空間におけるホルダー連続性の推定式を含む。

ABSTRACT

We study Cauchy problem of a class of viscous Camassa-Holm equations (or Lagrangian averaged Navier-Stokes equations) with fractional diffusion in both smooth bounded domains and in the whole space in two and three dimensions. Order of the fractional diffusion is assumed to be $2s$ with $s\in [n/4,1)$, which seems to be sharp for the validity of the main results of the paper; here $n=2,3$ is the dimension of space. We prove global well-posedness in $C_{[0,+\infty)}(D(A))\cap L^2_{[0,+\infty),loc}(D(A^{1+s/2}))$ whenever the initial data $u_0\in D(A)$, where $A$ is the Stokes operator. We also prove that such global solutions gain regularity instantaneously after the initial time. A bound on a higher-order spatial norm is also obtained.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元における有界領域および全空間において、分数拡散を伴う粘性カマッサ＝ホルム方程式のグローバルな適切性を確立すること。
• グローバル解が存在し正則性を獲得するための分数拡散の鋭い範囲 $ s \in [n/4,1) $ を特定すること。
• グローバル解が $ t>0 $ で即座に正則性を獲得することを証明すること、特に臨界ケース $ (n,s)=(2,1/2) $ においても同様であることを示すこと。
• 高階空間ノルムおよび解の時間と空間の正則性に関するホルダー型推定式の定量的評価を導出すること。
• ナビエ＝ストークス型方程式の古典的結果を、カマッサ＝ホルム枠組みにおける非局所拡散の設定に拡張すること。

提案手法

• 分数階数 $ s \in [n/4,1) $ を持つスペクトル分数階ストークス作用素 $ A^s $ を用い、ストークス作用素 $ A = \mathcal{P}(-\Delta) $ のスペクトル分解を介して非局所的粘性効果をモデル化する。
• エネルギー推定と分数階進化方程式の理論を用いて、非線形項 $ f(u,u) = u \cdot \nabla (1 - \alpha^2 \Delta)u - \alpha^2 \nabla u^T \cdot \Delta u $ を $ L^2_T(D(A^{1-s/2})) $ で制御する。
• 適切な関数空間 $ B $（時間におけるホルダー連続性を用いて定義）において、バナッハの縮小写像定理を用いた固定点議論を、分数階半群 $ e^{-t\nu A^s} $ を用いて構築する。
• 非線形作用素の有界性を活用し、解およびその増分について、空間 $ L^\infty_T(D(A)) \cap L^2_T(D(A^{1+s/2})) $ における事前推定を確立する。
• 分数階半群を用いて時間正則性推定を導出し、特に標準的な交換子推定が不十分となる臨界ケース $ (n,s) = (2,1/2) $ において有効である。
• 縮小写像議論と定理3.1のグローバル存在結果を組み合わせ、解が $ t=0 $ 以降すぐに正則性を獲得することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数拡散の鋭い範囲 $ s \in [n/4,1) $ は何か？ 2次元および3次元における $ s $-階数拡散を伴う粘性カマッサ＝ホルム方程式がグローバルに適切であるための条件である。
• RQ2 臨界ケース $ s = n/4 $ においても、分数拡散を伴う粘性カマッサ＝ホルム方程式のグローバル解は $ t=0 $ 以降すぐに正則性を獲得できるか？
• RQ3 高階空間ノルム $ \|A^{s/2}u(t)\|_{D(A)} $ および解の時間ホルダー連続性に関する定量的評価はどのように得られるか？
• RQ4 解の正則性は初期データ $ D(A) $ に依存するが、時間重み付き推定を用いてその依存関係を定量的に記述できるか？
• RQ5 臨界ケース $ (n,s)=(2,1/2) $ における正則性向上結果を、非局所拡散のもとで高階正則性や境界正則性に拡張できるか？

主な発見

• 初期データ $ u_0 \in D(A) $ に対して、$ s \in [n/4,1) $、$ n=2,3 $ の下で、$ C_{[0,+rown{\text{infty}})}(D(A)) \cap L^{2}_{[0,+rown{\text{infty}}),loc}(D(A^{1+s/2})) $ におけるグローバルな適切性が確立され、エネルギー法を用いてこの範囲の鋭さが証明される。
• 解は即座に正則性を獲得する：すべての $ t>0 $ に対して $ u(t) \in D(A^{1+s/2}) $ であり、臨界ケース $ (n,s)=(2,1/2) $ では $ \|u(t)\|_{D(A^{1+s/2})} \leq C \|u_0\|_{D(A)} t^{-1/2} $ を満たす。
• $ (n,s)=(2,1/2) $ の場合、解は時間に関してホルダー連続性を満たす：$ h \in [0,1] $、$ \beta \in (0,1) $ に対して $ \|u(t+h)-u(t)\|_{D(A)} \leq C h^\beta (1+t^{-\beta}) \|u_0\|_{D(A)} $ が成り立つ。
• 解は $ \|A^{s/2}(u(t+h)-u(t))\|_{D(A)} \leq C h^\beta (1+t^{-(\beta+1/2)}) \|u_0\|_{D(A)} $ を満たし、分数階微分空間における正則性の向上を示している。
• 解は Hölder 空間 $ C^\beta_{loc}((0,T]; D(A^{1+s/2})) $ に有界であり、そのノルムは $ C_7 M^2 $ で制御可能であり、ここで $ M = \|u_0\|_{D(A)} $ である。
• 半群 $ e^{-t\nu A^s} $ を用いた固定点議論と、半径 $ M $ の球における縮小写像による反復スキームの収束性により、解 $ u_* $ の存在と一意性が証明される。