[論文レビュー] On the weight distributions of several classes of cyclic codes from APN monomials

Chunlei Li, Nian Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 17被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{F}_p$ 上の三重重み巡回符号を構築する統一的枠組みを提示し、ほぼ完全非線形（APN）単項式を用いて、指数和解析を用いてその重み分布を確立する。$p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、指数和 $T(a,b)$ および $S(a,b,c)$ の値分布を完全に特定し、符号 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ の正確な重み数え上げを可能にする。$p=3$ かつ偶数の $e$ の場合、双対符号の最小距離が最適な 5 に達することの証明に応用する。

ABSTRACT

Let $m\geq 3$ be an odd integer and $p$ be an odd prime. % with $p-1=2^rh$, where $h$ is an odd integer. In this paper, many classes of three-weight cyclic codes over $\mathbb{F}_{p}$ are presented via an examination of the condition for the cyclic codes $\mathcal{C}_{(1,d)}$ and $\mathcal{C}_{(1,e)}$, which have parity-check polynomials $m_1(x)m_d(x)$ and $m_1(x)m_e(x)$ respectively, to have the same weight distribution, where $m_i(x)$ is the minimal polynomial of $π^{-i}$ over $\mathbb{F}_{p}$ for a primitive element $π$ of $\mathbb{F}_{p^m}$. %For $p=3$, the duals of five classes of the proposed cyclic codes are optimal in the sense that they meet certain bounds on linear codes. Furthermore, for $p\equiv 3 \pmod{4}$ and positive integers $e$ such that there exist integers $k$ with $\gcd(m,k)=1$ and $τ\in\{0,1,\cdots, m-1\}$ satisfying $(p^k+1)\cdot e\equiv 2 p^τ\pmod{p^m-1}$, the value distributions of the two exponential sums $T(a,b)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e)}$ and $ S(a,b,c)=\sum\limits_{x\in \mathbb{F}_{p^m}}ω^{\Tr(ax+bx^e+cx^s)}, $ where $s=(p^m-1)/2$, are settled. As an application, the value distribution of $S(a,b,c)$ is utilized to investigate the weight distribution of the cyclic codes $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ with parity-check polynomial $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$. In the case of $p=3$ and even $e$ satisfying the above condition, the duals of the cyclic codes $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ have the optimal minimum distance.

研究の動機と目的

• 巡回符号 $\mathcal{C}_{(1,e)}$ が $\mathbb{F}_p$ 上で正確に三つの重みを持つ一般条件を確立すること。
• $p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、$e$ が $p^k+1$ および $p^\tau$ を含む特定の合同条件を満たすとき、指数和 $T(a,b)$ および $S(a,b,c)$ の値分布を特定すること。
• $S(a,b,c)$ の値分布を用いて、パリティ検査多項式 $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$ を持つ巡回符号 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ の重み分布を計算すること。ここで $s = (p^m - 1)/2$ である。
• $p=3$ かつ偶数の $e$ が合同条件を満たす場合、双対符号 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}^\perp$ が最適な最小距離 5 を達成することを証明すること。
• 既存の三重重み巡回符号の構築法を一般化・統一し、近年の文献における結果が提示された枠組みの特殊ケースであることを示すこと。

提案手法

• 本稿は、$\mathbb{F}_p$ 上での $\pi^{-i}$ の最小多項式 $m_i(x)$ を用いて、パリティ検査多項式 $m_1(x)m_e(x)$ および $m_1(x)m_e(x)m_s(x)$ を介して巡回符号 $\mathcal{C}_{(1,e)}$ および $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ を定義する。
• $d$ および $e$ の指数の巡回コセットと構造を分析することにより、$\mathcal{C}_{(1,d)}$ と $\mathcal{C}_{(1,e)}$ 間の重み分布の同値性を確立する。
• $p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、有限体上のガウス和および指標和の性質を用いて、指数和 $T(a,b) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} \omega^{\operatorname{Tr}(ax + b x^e)}$ の値分布を導出する。
• $S(a,b,c) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} \omega^{\operatorname{Tr}(ax + b x^e + c x^s)}$ の値分布は、$\mathbb{F}_{p^{2m}}$ 上の連立一次方程式を解くことにより計算され、$(p^k + 1)e \equiv 2p^\tau \pmod{p^m - 1}$ および $\gcd(m,k) = 1$ の条件を用いる。
• 指数和の解の数と符号語のハミング重みとの関係を関連させることにより、$\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ の重み分布を決定する。
• 本証明は、$\mathbb{F}_{p^{2m}}$ 内で $x^{p^k+1} + y^{p^k+1} = \beta$ および $x^{p^m+1} = \pm \alpha^{(p^m-1)/2}$ の形の式の解の数を数えることに依存し、ガウス和および指標論の性質を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $e$, $p$, および $m$ がどのような条件下で、$\mathbb{F}_p$ 上の巡回符号 $\mathcal{C}_{(1,e)}$ が正確に三つの重みを持つのか。
• RQ2 $p \equiv 3 \pmod{4}$ および $s = (p^m - 1)/2$ の場合、指数和 $S(a,b,c) = \sum_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} \omega^{\operatorname{Tr}(ax + b x^e + c x^s)}$ の正確な値分布は何か。
• RQ3 $S(a,b,c)$ の値分布をどのようにして、巡回符号 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}$ の完全な重み分布を計算するのに用いることができるか。
• RQ4 $p=3$ かつ偶数の $e$ が $(p^k + 1)e \equiv 2p^\tau \pmod{p^m - 1}$ を満たし、$\gcd(2m,k) = 1$ である場合、双対符号 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}^\perp$ は最適な最小距離 5 を達成するか。
• RQ5 既知のAPN単項式から得られるすべての三重重み巡回符号が、本稿で提示された一般的構成の特殊ケースであるか。

主な発見

• $p \equiv 3 \pmod{4}$ かつ $e$ が $(p^k + 1)e \equiv 2p^\tau \pmod{p^m - 1}$ を満たし、$\gcd(m,k) = 1$ である場合、指数和 $T(a,b)$ は $\{0, \pm(p+1), \pm 2(p+1)\}$ の値を取り、$a$ と $b$ に応じた正確な頻度が得られる。
• $S(a,b,c)$ の値分布は完全に特定されている：値は $\{0, \pm 8(p+1), \pm 4(p+1), \pm 2(p+1), p+1\}$ に属し、$\alpha$ が非平方かつ $\beta \in S_1(\alpha)$ の場合にのみ $8(p+1)$ を取り、それ以外の場合は 0 である。
• $x^{p^k+1} + y^{p^k+1} = \beta$ の解の数は、$\beta \in S_1(\alpha)$ の場合に $2(p+1)$、$\beta = \alpha^{(p^k+1)/2}$ の場合に $p+1$ であり、これにより $|S_1(\alpha)| = (p^m - p)/(2(p+1))$ が得られる。
• $S(a,b,c)$ に関連する方程式系の総解数 $\mathcal{N}_4$ は、$p \equiv 3 \pmod{4}$ の場合、$\mathcal{N}_4 = 2p^{2m} - p^{m+1} - p^m + p$ である。これは解数と指標和解析から導出される。
• $p=3$ かつ偶数の $e$ が合同条件を満たし、$\gcd(2m,k) = 1$ である場合、双対符号 $\mathcal{C}_{(1,e,s)}^\perp$ は最適な最小距離 5 を達成し、その最適性が確認される。
• 本稿で提示された一般的構成の特殊ケースとして、文献に既知のAPN単項式から得られるすべての三重重み巡回符号が示される。