[論文レビュー] On the weighted $\bar\partial$-Neumann problem on unbounded domains

Klaus Gansberger|ArXiv.org|Dec 4, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{C}^n$ 内の非有界で擬凸な領域上で、$`\ubar{\partial}$-Neumann作用素の存在およびコンパクト性に関する必要十分条件を、$`\mathcal{C}^2$-擬凸重み関数の複素ヘッシアンの固有値を用いて確立する。主な結果は、ヘッシアンの最小固有値が無限遠点で正の定数以上に下から有界であるならば作用素が存在すること、またそれが無限遠点で無限大に発散し、境界が局所的性質 (P) を満たすならば作用素がコンパクトであることである。

ABSTRACT

Let $Ω$ be an unbounded, pseudoconvex domain in $\Bbb C^n$ and let $φ$ be a $\mathcal C^2$-weight function plurisubharmonic on $Ω$. We show both necessary and sufficient conditions for existence and compactness of a weighted $\bar\partial$-Neumann operator $N_φ$ on the space $L^2_{(0,1)}(Ω,e^{-φ})$ in terms of the eigenvalues of the complex Hessian $(\partial ^2φ/\partial z_j\partial\bar z_k)_{j,k}$ of the weight. We also give some applications to the unweighted $\bar\partial$-Neumann problem on unbounded domains.

研究の動機と目的

• 非有界で擬凸な領域における重み付き $`\ubar{\partial}$-Neumann問題の理論を $`\mathbb{C}^n$ に拡張すること。
• 重み関数の複素ヘッシアンのスペクトル的性質を用いて、重み付き $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素の存在およびコンパクト性を特徴づけること。
• カトリンの性質 (P) を非有界領域に一般化し、コンパクト性の十分条件として用いること。
• 非有界領域上での $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素が有界またはコンパクトのままであるための幾何学的・解析的条件を明確にすること。
• コンパクト性、準有界性、準円筒型性の間の関係を確立し、コンパクト性が準有界性を意味することを示すこと。

提案手法

• 本稿は、Kohn–Morrey 公式を用いて、$`\ubar{\partial}$-Neumann問題と重み関数の複素ヘッシアンの幾何学的性質を関連付ける。
• 非有界領域に対してカトリンの性質 (P) の局所的バージョンを導入し、境界付近で大きなヘッシアン固有値を持つ滑らかで一様有界な擬凸関数の存在を要請する。
• 重み関数のヘッシアンの最小固有値の下限が無限遠点で $`\varepsilon > 0$ 以上に保たれるならば、有界な $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素が存在することを示す。
• ヘッシアンの最小固有値が無限遠点で無限大に発散し、かつ境界が局所的性質 (P) を満たすならば、コンパクト性が保証される。
• 重み関数の等価性を用いて、重み付きと非重み付き $L^2$-空間間で有界性およびコンパクト性を保存するように結果を移行する。
• 準有界性や準円筒型性などの幾何的基準を用いて、存在およびコンパクト性の必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み関数の複素ヘッシアンにどのような条件が課されると、非有界な擬凸領域上での重み付き $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素が存在するか？
• RQ2 カトリンの性質 (P) を非有界領域に一般化できるか。その一般化は、$`\ubar{\partial}$-Neumann作用素のコンパクト性を特徴づけるのに有効か？
• RQ3 領域の幾何的性質（例：準有界性、準円筒型性）は、$`\ubar{\partial}$-Neumann作用素の存在またはコンパクト性にどのような必要条件を与えるか？
• RQ4 擬凸重み関数の複素ヘッシアンのスペクトル的性質は、$`\ubar{\partial}$-Neumann作用素の正則性および有界性にどのように影響するか？
• RQ5 $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素のコンパクト性は、バイホロモーマーフィズムに関して不変か。これは領域の幾何学的性質とどのように関係するか？

主な発見

• 重み関数の複素ヘッシアンの最小固有値 $`\lambda_\varphi(z)$ が、$\liminf_{|z|\to\infty, z\in\Omega} \lambda_\varphi(z) \geq \varepsilon > 0$ を満たすならば、重み付き $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素 $N_\varphi$ は $L^2_{(0,1)}(\Omega, e^{-\varphi})$ 上に存在し、有界である。
• 領域 $\Omega$ の境界が局所的性質 (P) を満たし、かつ $\lambda_\varphi(z) \to \infty$ が $|z| \to \infty$ のとき成り立つならば、$N_\varphi$ は $L^2_{(0,1)}(\Omega, e^{-\varphi})$ 上でコンパクトである。
• 非有界領域上での $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素のコンパクト性は、その領域が準有界であることを意味する。すなわち、$\lim_{|z|\to\infty, z\in\Omega} \text{dist}(z, \partial\Omega) = 0$ である。
• 非有界領域上での有界な $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素の存在は、その領域が準円筒型であることを意味する。すなわち、ある $C > 0$ に対して、$\limsup_{|z|\to\infty, z\in\Omega} \text{dist}(z, \partial\Omega) \leq C$ である。
• 無限遠点で $`\lambda_\varphi \geq \varepsilon > 0$ が成り立つ有界な擬凸重み関数 $`\varphi$ が存在するならば、非重み付き空間上でも有界な $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素が存在する。
• 領域 $`\Omega$ が性質 (P) を満たし、かつ無限遠点で $`\lambda_\varphi \to \infty$ となる有界な擬凸関数 $`\varphi$ が存在するならば、非重み付き $`\ubar{\partial}$-Neumann作用素はコンパクトである。