[論文レビュー] On the Weil representation of infinite-dimensional symplectic group over a finite field

Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限体上の無限次元シンプレクティック群のワイレ表現を、線形関係の圏への表現へと拡張し、完全ラグランジュ線形関係の合成が再び完全ラグランジュ線形関係であることを確立している。主な貢献は、$\varepsilon^2(V^{d}_{\infty})$ 上のユニタリ表現 $W(g)$ がヘイゼンベルグ群作用とインターウェーブするものであり、局所コンパクトアーベル群における双対性と直交性の議論により、合成に関して閉じていることが示されている。

ABSTRACT

We extend the Weil representation of infinite-dimensional symplectic group to a representation a certain category of linear relations.

研究の動機と目的

• 無限次元シンプレクティック群 $\mathrm{Sp}(\mathbb{V}_{2\infty})$ のワイレ表現を、線形関係の圏への表現へと拡張すること。
• 局所コンパクトアーベル群の文脈における完全ラグランジュ線形関係の構造を特徴づけること。
• 完全ラグランジュ線形関係の合成が再び完全ラグランジュ線形関係であることを証明し、合成に関して閉じていることを保証すること。
• $\ell^2(V^{d}_{\infty})$ 上にユニタリ表現 $W(g)$ を構成し、$a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ を満たすことを確立すること。

提案手法

• スケーラー的非対称形式 $\{\cdot,\cdot\}$ を備えた無限次元シンプレクティック空間 $\mathbb{V}_{2\mu} = V^{d}_{\mu} \oplus V^{c}_{\mu}$ を定義し、ポントリャーギン双対性を備える。
• 演算子 $a(v)$ を用いて $\ell^2(V^{d}_{\mu})$ 上にヘイゼンベルグ群の射影的ユニタリ表現を構成し、$a(v)a(w) = \mathsf{Exp}(\frac{1}{2}\{v,w\})a(v+w)$ を満たすようにする。
• $g \in \mathrm{Sp}(\mathbb{V}_{2\infty})$ に対して $a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ を満たす唯一のスカラーを除いてユニタリ作用素 $W(g)$ をワイレ表現として定義する。
• 線形関係 $T: \mathbb{V}_{2\mu} \rightrightarrows \mathbb{V}_{2\nu}$ の圏を導入し、射影を用いて核、定義域、像、不定性を定義する。
• 完全ラグランジュ線形関係を、$T \subset \mathbb{V}_{2\mu} \oplus \mathbb{V}_{2\nu}$ における最大の自己直交部分空間として定義し、核、像、およびそれらの直交補空間に対してコンパクト性とコディスクレットネスの条件を課す。
• 商空間における双対性と直交性を用いて、$T$ と $S$ が完全ラグランジュ線形関係であれば、$ST$ も完全ラグランジュ線形関係であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の無限次元シンプレクティック群のワイレ表現を、線形関係の圏への表現へと拡張できるか？
• RQ2 局所コンパクトアーベル群の文脈において、完全ラグランジュ線形関係を特徴づける条件は何か？
• RQ3 二つの完全ラグランジュ線形関係の合成は、再び完全ラグランジュ線形関係であるか？
• RQ4 ワイレ表現 $W(g)$ は、$a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ というインターウェーブ関係によって、ヘイゼンベルグ群作用とどのように作用するか？

主な発見

• ワイレ表現 $W(g)$ は、すべての $g \in \mathrm{Sp}(\mathbb{V}_{2\infty})$ に対して、$a(vg) = W(g)^{-1}a(v)W(g)$ を満たす $\ell^2(V^{d}_{\infty})$ 上のユニタリ作用素として存在する。
• $W(g)$ は $\mathbb{C}^\times$ に値をとり、その絶対値が 1 である射影的表現であるが、無限次元の場合に線形的か射影的かは未だ不明である。
• 完全ラグランジュ線形関係は、核がコンパクトで、不定性が定義され、定義域と像がコディスクレットである、最大の自己直交部分空間である。
• $T: \mathbb{V}_{2\mu} \rightrightarrows \mathbb{V}_{2\nu}$ および $S: \mathbb{V}_{2\nu} \rightrightarrows \mathbb{V}_{2\varkappa}$ が完全ラグランジュ線形関係であれば、その合成 $ST$ も完全ラグランジュ線形関係である。これは商空間における直交性の議論により示された。
• 完全ラグランジュ関係 $T$ の擬似逆数 $T^\square$ は $T^\square = (T^\lozenge)^\lozenge$ を満たし、随伴をとる操作に関して閉じている。
• ワイレ作用素 $W(P)$ の随伴は $W(P)^* a(-w) = a(-v) W(P)^*$ を満たし、これにより $W(P)^*$ が $W(P^\square)$ に一致することが示され、双対性と整合していることが確認された。