[論文レビュー] On the well-posedness of Bayesian inversion for PDEs with ill-posed forward problems

Samuel Lanthaler, Siddhartha Mishra+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2021

Reservoir Engineering and Simulation Methods参考文献 26被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Euler方程式やNavier-Stokes方程式などの正しく定義されていない前向き問題を有するPDEにおけるベイズ逆問題の適切性を確立する。一般の数値近似に関する仮定の下で、ノイズが混入した観測値の摂動に対しても事後測度の存在と安定性を証明し、時間依存のデータ同化（フィルタリング）問題への適切性を拡張する。

ABSTRACT

We study the well-posedness of Bayesian inverse problems for PDEs, for which the underlying forward problem may be ill-posed. Such PDEs, which include the fundamental equations of fluid dynamics, are characterized by the lack of rigorous global existence and stability results as well as possible non-convergence of numerical approximations. Under very general hypotheses on approximations to these PDEs, we prove that the posterior measure, expressing the solution of the Bayesian inverse problem, exists and is stable with respect to perturbations of the (noisy) measurements. Moreover, analogous well-posedness results are obtained for the data assimilation (filtering) problem in the time-dependent setting. Finally, we apply this abstract framework to the incompressible Euler and Navier-Stokes equations and to hyperbolic systems of conservation laws and demonstrate well-posedness results for the Bayesian inverse and filtering problems, even when the underlying forward problem may be ill-posed.

研究の動機と目的

• 前向きPDEモデルがグローバル存在や安定性を欠く場合に生じるベイズ逆問題の課題に対処する。
• 前向き問題が正しく定義されていなくても、ベイズ推定における事後測度が適切に定義される厳密な条件を確立する。
• 正しく定義されていないPDEを含む時間依存のデータ同化（フィルタリング）問題への適切性結果を拡張する。
• 非圧縮性Euler方程式やNavier-Stokes方程式を含む、基本的な流体力学方程式に一般に適用可能なフレームワークを提供する。
• 数値近似が前向き問題に対して収束しなくても、事後測度の安定性と存在が保たれることを示す。

提案手法

• 前向き作用素を正しく定義されていない写像とみなす、一般的な関数解析的設定においてベイズ逆問題を定式化する。
• 弱収束と緊密性の議論を用いて、前向きPDEの近似に関する最小限の仮定の下で事後測度の存在を証明する。
• 測度の弱収束を用いて、観測値の摂動に対する事後測度の安定性を確立する。
• 時間発展する前向きモデルを用いた逐次的ベイズ更新としてフィルタリング問題をモデル化することで、時間依存系にフレームワークを適用する。
• 収束を要件としない一般の近似スキーム（例えば、有限要素法や有限体積法）に関する仮定を用いる。
• 強収束が成立しない場合に対処するため、測度論的道具（Prokhorovの定理やSkorokhodの定理など）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前向きPDEが正しく定義されていなくても、ベイズ逆問題における事後測度が適切に定義される条件は何か？
• RQ2 前向き問題がグローバル存在や安定性を欠いても、観測値のノイズによる摂動に対して、事後測度の安定性を保証できるか？
• RQ3 正しく定義されていないPDE（例えば保存則）を含む時間依存のデータ同化問題に、このフレームワークは拡張可能か？
• RQ4 収束を要件としない一般の近似スキームが、逆問題の適切性にどのように影響するか？
• RQ5 理論的結果は、非圧縮性Euler方程式やNavier-Stokes方程式といった基本的な流体力学方程式に適用可能か？

主な発見

• 近似が弱い一般的な仮定を満たしていれば、正しく定義されていないPDEを含むベイズ逆問題における事後測度が存在することが保証される。
• 観測データの摂動に対しても事後測度が安定しており、ノイズのある観測値に対してもベイズ推論のロバスト性が保証される。
• 時間依存のフィルタリング問題に対しても、前向きPDEモデルが正しく定義されていなくても適切性が確立される。
• 非圧縮性Euler方程式やNavier-Stokes方程式に対しても、それらがグローバル存在や安定性の結果を欠いているとしても、直接的に結果が適用可能である。
• 事後測度の存在と安定性は、前向きPDEの数値近似が収束することを要件としない。弱収束する近似測度の収束だけで十分である。
• 従来の前向きソルバが失敗するような流体力学や保存則における不確実性の定量化に、このフレームワークは厳密な基礎を提供する。