[論文レビュー] On the well-posedness of the Cauchy problem for Fokker--Planck--Kolmogorov equations with potential terms on arbitrary domains

Oxana A. Manita, С. В. Шапошников|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の定義域上での有界でない、退化する係数およびポテンシャル項を伴う Fokker–Planck–Kolmogorov 方程式の初期値問題に対する解の存在および一意性の十分条件を確立する。Lyapunov 関数に基づく手法を導入し、部分確率測度が確率測度に漸近するように保証する。従来の研究で要求されていた Lyapunov 関数のグローバルリプシッツ連続性の仮定を排除し、不規則な係数および一般の定義域をカバーする。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for Fokker--Planck--Kolmogorov equations with unbounded and degenerate coefficients. Sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions are indicated.

研究の動機と目的

• 任意の開領域 $ D \subset \mathbb{R}^d $ 上でのポテンシャル項を伴う Fokker–Planck–Kolmogorov 方程式の初期値問題の適切性を検討し、従来の結果が $ \mathbb{R}^d $ に限られていたのを拡張する。
• 有界でない・退化する係数を含む方程式に対し、解の存在および一意性の結果を拡張する。これには滑らかでない拡散行列および局所的に有界な勾配項とポテンシャル項を含む。
• 従来の研究で要求されていた Lyapunov 関数の制限的なグローバルリプシッツ連続性を排除し、不規則な係数への適用範囲を広げる。
• グローバルな正則性が欠如する場合でも、部分確率測度および確率測度のクラスにおける存在および一意性を統一的に扱う枠組みを提供する。
• Kolmogorov や他の研究者による古典的結果を一般化し、係数の滑らかさや線形成長の仮定なしに、解の存在および一意性を保証する条件を確立する。

提案手法

• 領域 $ D $ の exhaustion $ \{D_k\} $ 上で滑らかな係数を用いた近似スキームを構築し、局所的な正則性と収束性を保証する。
• $ V(x) \to +\infty $ が $ x \to \partial D $ のとき成り立ち、ある $ K > 0 $ に対して $ LV \leq K + KV $ を満たす $ C^2(D) $ に属する Lyapunov 関数 $ V $ を用い、爆発の制御と質量保存を保証する。
• 恒等式 $ \mu_t(D) = \nu(D) + \int_0^t \int_D c(x,s) \, d\mu_s \, ds $ を用いて、$ c = 0 $ のとき部分確率解が確率測度に漸近することを検証する。
• 近似解 $ \mu^{n}_{s,y} $ に対する極限的議論を適用し、その可測性および Kolmogorov–Chapman 方程式の満たし方を活用して、極限のマルコフ性を確立する。
• 時間平均測度 $ \sigma_t $ が $ LV \leq -K_2 V $ を満たす $ D \setminus D_k $ で弱収束し、定常解 $ \sigma $ に収束することを示し、エルゴード性を確認する。
• 係数にグローバルな境界を課さず、局所的可積分性と Lyapunov 関数の存在に依存して、適切性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界でない・退化する係数を伴うポテンシャル項付き Fokker–Planck–Kolmogorov 方程式の初期値問題が、任意の定義域 $ D \subset \mathbb{R}^d $ で一意解を持つための条件は何か？
• RQ2 従来の研究で仮定されていたように、Lyapunov 関数がグローバルリプシッツ連続でなくても、解の存在および一意性を保証できるか？
• RQ3 ポテンシャル項 $ c $ がゼロのとき、部分確率解が確率解に漸近することをどのように保証できるか？
• RQ4 係数 $ a^{ij}, b^i, c $ にどのような条件を課すと、解フロー $ \mu_t $ が一般の定義域上で保存的（全質量を保存）となるか？
• RQ5 Lyapunov 型推定により、解のエルゴード性を確立できるか？また、これにより長期的挙動にどのような意味があるか？

主な発見

• 部分確率測度のクラスにおける初期値問題 (1.1) の解の存在および一意性は、$ D $ 上で $ C^2 $ であり、$ x \to \partial D $ のとき $ V(x) \to +\infty $ であり、ある $ K > 0 $ に対して $ LV \leq K + KV $ を満たす Lyapunov 関数 $ V $ が存在する場合に保証される。
• $ c = 0 $ のとき、恒等式 $ \mu_t(D) = \nu(D) + \int_0^t \int_D c(x,s) \, d\mu_s \, ds $ により $ \mu_t(D) = \nu(D) $ に簡略化され、すべての $ t \in [0,T] $ に対して $ \mu_t $ は確率測度である。
• $ D = \mathbb{R}^d $ の場合、条件 $ \text{tr}(A) + (b,x) + \frac{1}{2}|x|^2 c \leq K + K|x|^2 $ が成り立てば、有界でない係数に対しても解の存在および一意性が保証される。
• $ \delta_y $ を初期条件とする解 $ \mu_{s,y} $ は $ (s,y) $ に関して可測であり、Kolmogorov–Chapman 方程式を満たすため、マルコフ構造が確認される。
• 例 3.10 において、$ D = (-1,1) $ 上で不連続かつ退化する係数を伴う方程式は、$ LV \leq K_1 V $ を満たす Lyapunov 関数 $ V(x) = \frac{2 - x^2}{1 - x^2} $ の存在により、一意な確率解を有する。
• $ LV \leq -K_2 V $ が $ D \setminus D_k $ で成り立つとき、時間平均測度 $ \sigma_t $ は弱収束し、定常解 $ \sigma $ に収束する。これにより、エルゴード性および長期的安定性が確認される。