[論文レビュー] On the well-posedness of the incompressible Euler Equation

Hasan İnci|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、$H^s(\mathbb{R}^n)$ 上の非圧縮性エーラー方程式が $s > n/2 + 1$ の場合、体積保存微分同相写像の無限次元多様体上での測地線方程式として定式化できることを確立している。この幾何的枠組みを用いて、初期データに関して解写像が局所的に一様連続でもなく、微分可能でもないことが証明され、$C^1$ の意味で強い不適切性が明らかになった。

ABSTRACT

In this thesis we prove that the homogeneous incompressible Euler equation of hydrodynamics on the Sobolev spaces $H^s(\R^n)$, $n \geq 2$ and $s > n/2+1$, can be expressed as a geodesic equation on an infinite dimensional manifold. As an application of this geometric formulation we prove that the solution map of the incompressible Euler equation, associating intial data in $H^s(\R^n)$ to the corresponding solution at time $t > 0$, is nowhere locally uniformly continuous and nowhere differentiable.

研究の動機と目的

• 非圧縮性エーラー方程式を、体積保存微分同相写像の無限次元多様体上での測地線方程式として幾何的に定式化すること。
• 初期データから時間 $t > 0$ における解への写像の正則性特性を、Sobolev 空間 $H^s(\mathbb{R}^n)$ において分析すること。
• 初期データの $H^s$ 位相において、解写像 $u_0 \mapsto u(t)$ が $s > n/2 + 1$ の場合、どこにも局所的に一様連続ではなく、微分可能でもないことを証明すること。
• 解写像のリプシッツ連続性の欠如により、標準的な収縮写像の議論が適用できないことを示すこと。

提案手法

• 体積保存微分同相写像群 $\mathcal{D}^s(\mathbb{R}^n)$ に $H^s$ 右不変リーマン計量を備えた多様体上で、非圧縮性エーラー方程式を測地線方程式として定式化すること。
• 流体のエーラー的記述を用いて、方程式を体積保存微分同相写像の無限次元多様体上の2階常微分方程式として表現すること。
• 多様体上の指数写像を用いて、初期速度場と時間経過による流れを関連させること。
• バイオ・サバールの法則による渦度表現を用いて、$H^s$ 空間における渦度から速度場を推定すること。
• Sobolev埋め込みと、$H^s$ 空間における滑らかで compact な台を持つ発散なしベクトル場の稠密性を活用して、近似を正当化すること。
• 初期データの列を構成することで、リプシッツ連続性または一様連続性の境界を満たさないため、非微分可能性および一様連続性の欠如を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性エーラー方程式は、体積保存微分同相写像の無限次元多様体上での測地線的流れとして幾何的に解釈可能か？
• RQ2 $s > n/2 + 1$ の場合、$H^s(\mathbb{R}^n)$ 位相において、解写像 $u_0 \mapsto u(t)$ の正則性特性は何か？
• RQ3 $s > n/2 + 1$ の場合、解写像は局所的に一様連続または微分可能か？
• RQ4 幾何的および関数解析的道具を用いて、解写像のリプシッツ連続性の欠如を厳密に確立できるか？

主な発見

• $s > n/2 + 1$ の場合、$H^s(\mathbb{R}^n)$ 上の非圧縮性エーラー方程式は、体積保存微分同相写像の多様体 $\mathcal{D}^s_{\mu}(\mathbb{R}^n)$ 上で測地線的定式化を有する。
• $s > n/2 + 1$ の場合、解写像 $u_0 \mapsto u(t)$ は $H^s(\mathbb{R}^n)$ 上でどこにも局所的に一様連続ではない。
• $s > n/2 + 1$ の場合、解写像は Fréchet の意味でどこにも微分可能ではない。
• 非微分可能性は、この設定において収縮写像の議論を用いて解を構成できないことを示唆する。
• $s > n/2 + 1$ の場合、非圧縮性エーラー方程式は局所的 well-posedness を有するが、それでも滑らかな依存性のギャップが顕在化する。
• 証明は、バイオ・サバールの法則と Sobolev 埋め込みを用いて渦度から速度場を制御し、$H^s$ における滑らかで台がコンパクトなベクトル場の稠密性に依拠している。