[論文レビュー] On the Witten index in terms of spectral shift functions

Alan L. Carey, Fritz Gesztesy+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 41被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、漸近的作用素 $A_\pm$ に関連するスペクトルシフト関数 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ を用いて、モデル作用素 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ のウィッテン指標を公式化する。主な結果は、リゾルベントおよび半群正則化ウィッテン指標が一致し、ゼロにおけるスペクトルシフト関数の左および右リーマン極限の平均に等しいこと、すなわち $W_r = W_s = \frac{1}{2}\big(\xi_L(0_+; A_+, A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)\big)$ であることを示しており、非フレドホルム的状況へのフレドホルム指標概念の拡張を実現する。

ABSTRACT

We study the model operator $\mathbf{D}_{\mathbf{A}} = (d/dt) + \mathbf{A}$ in $L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ associated with the operator path $\{A(t)\}_{t=-\infty}^{\infty}$, where $(\mathbf{A} f)(t) = A(t) f(t)$ for a.e.\ $t\in\mathbb{R}$, and appropriate $f \in L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ (with $\mathcal{H}$ a separable, complex Hilbert space). Denoting by $A_{\pm}$ the norm resolvent limits of $A(t)$ as $t o \pm \infty$, our setup permits $A(t)$ in $\mathcal{H}$ to be an unbounded, relatively trace class perturbation of the unbounded self-adjoint operator $A_-$, and no discrete spectrum assumptions are made on $A_{\pm}$. We introduce resolvent and semigroup regularized Witten indices of $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$, denoted by $W_r$ and $W_s$, and prove that these regularized indices coincide with the Fredholm index of $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ whenever the latter is Fredholm. In situations where $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ ceases to be a Fredholm operator in $L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$ we compute its resolvent (resp., semigroup) regularized Witten index in terms of the spectral shift function $ξ(\,\cdot\,;A_+,A_-)$ associated with the pair $(A_+, A_-)$ as follows: Assuming $0$ to be a right and a left Lebesgue point of $ξ(\,\cdot\,\, ; A_+, A_-)$, denoted by $ξ_L(0_+; A_+,A_-)$ and $ξ_L(0_-; A_+, A_-)$, we prove that $0$ is also a right Lebesgue point of $ξ(\,\cdot\,\, ; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1})$, denoted by $ξ_L(0_+; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1})$, and that \begin{align*} W_r(\mathbf{D}_{\mathbf{A}}) &= W_s(\mathbf{D}_{\mathbf{A}}) \\ & = ξ_L(0_+; \mathbf{H_2}, \mathbf{H_1}) \\ & = [ξ_L(0_+; A_+,A_-) + ξ_L(0_-; A_+, A_-)]/2, \end{align*} the principal result of this paper. In the special case where $\dim(\mathcal{H}) < \infty$, we prove that the Witten indices of $\mathbf{D}_{\mathbf{A}}$ are either integer, or half-integer-valued.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間値 $L^2$-空間上の微分作用素の文脈において、非フレドホルム作用素へのフレドホルム指標概念の拡張を図ること。
• 自己共役作用素の経路を表す $\boldsymbol{A}$ を用いて、作用素 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ のリゾルベントおよび半群正則化ウィッテン指標を定義し、分析すること。
• 相対的にトレースクラスの摂動に対する、ウィッテン指標とスペクトルシフト関数 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ の明確な関係を確立すること。
• ウィッテン指標が、$\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}$ がフレドホルム的でない場合でも、ゼロにおけるスペクトルシフト関数の左および右リーマン極限の半分の和に等しいことを示すこと。
• 有限次元ヒルベルト空間において、ウィッテン指標が整数または半整数値をとることを証明すること。

提案手法

• ヒルベルト空間値 $L^2$-空間 $L^2(\mathbb{R}; \mathcal{H})$ 上に、自己共役作用素の経路 $A(t)$ を乗算作用素として持つモデル作用素 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ を定義する。ここで $A(t)$ は漸近的極限 $A_\pm$ を持つ。
• 関連する非負の自己共共役作用素 $\boldsymbol{H}_1 = \boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}^*\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}$ および $\boldsymbol{H}_2 = \boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}^*$ を導入する。
• リゾルベント正則化ウィッテン指標を $W_r(\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}) = \lim_{\lambda \uparrow 0} (-\lambda) \operatorname{tr}\big( (\boldsymbol{H}_1 - \lambda I)^{-1} - (\boldsymbol{H}_2 - \lambda I)^{-1} \big)$ として定義する。
• 半群正則化ウィッテン指標を $W_s(\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}) = \lim_{t \uparrow \infty} \operatorname{tr}\big( e^{-t\boldsymbol{H}_1} - e^{-t\boldsymbol{H}_2} \big)$ として定義する。
• スペクトルシフト関数理論を用いて、リゾルベントおよび半群の差をスペクトルシフト関数 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ に関連付ける。
• ゼロにおけるリーマン点の仮定の下で、$W_r = W_s = \xi_L(0_+; \boldsymbol{H}_2, \boldsymbol{H}_1) = \frac{1}{2}\big(\xi_L(0_+; A_+, A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)\big)$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非フレドホルム的である形式 $\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A} = \frac{d}{dt} + \boldsymbol{A}$ の作用素に対して、ウィッテン指標をどのように定義し、計算できるか。
• RQ2 漸近的作用素 $A_\pm$ に対して、ウィッテン指標とスペクトルシフト関数 $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ の関係は何か。
• RQ3 リゾルベントおよび半群正則化ウィッテン指標が一致する条件は何か。
• RQ4 ウィッテン指標がゼロにおけるスペクトルシフト関数の左および右リーマン極限の半分の和として表現可能か。
• RQ5 ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ が有限次元の場合、ウィッテン指標の取り得る値は何か。

主な発見

• リゾルベントおよび半群正則化ウィッテン指標が存在する限り、$\boldsymbol{D}_\boldsymbol{A}$ に対してそれらは一致する。
• ウィッテン指標は、ペア $(\boldsymbol{H}_2, \boldsymbol{H}_1)$ におけるスペクトルシフト関数の値に等しく、すなわち $W_r = W_s = \xi_L(0_+; \boldsymbol{H}_2, \boldsymbol{H}_1)$ である。
• この指標は、ゼロにおける $\xi(\cdot; A_+, A_-)$ の左および右リーマン極限の平均として与えられる：$W_r = W_s = \frac{1}{2}\big(\xi_L(0_+; A_+, A_-) + \xi_L(0_-; A_+, A_-)\big)$。
• この結果は、$\xi(\cdot; A_+, A_-)$ がゼロを右および左リーマン点として持つという仮定の下で成り立つ。これにより、関連する極限の存在が保証される。
• 有限次元の場合（$\dim(\mathcal{H}) < \infty$）、ウィッテン指標は整数または半整数値をとる。
• 証明はトレース推定およびアベル変換に依拠しており、指数写像に関連する関数の $C^2$-ノルムおよび相対トレースクラス摂動からの主要な評価が得られる。