[論文レビュー] On the works of Euler and his followers on spherical geometry

Athanase Papadopoulos|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2014

History and Theory of Mathematics参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、オイラーとその門人の、とりわけレクセルとシューベルトの球面幾何学に関する貢献をレビュー・分析したものであり、球面三角法、内在的幾何定理、地図投影法を焦点としている。主な結果として、固定面積の球面三角形の頂点の軌跡を特徴づけるレクセルの定理や、パップスの定理の球面的類似形であるオイラーの球面的類似定理を強調し、ユークリッド幾何学との深い類似性、および立体幾何学への依存を避けた内在的証明における変分法と対称性理論の応用を示している。

ABSTRACT

We review and comment on some works of Euler and his followers on spherical geometry. We start by presenting some memoirs of Euler on spherical trigonometry. We comment on Euler's use of the methods of the calculus of variations in spherical trigonometry. We then survey a series of geometrical resuls, where the stress is on the analogy between the results in spherical geometry and the corresponding results in Euclidean geometry. We elaborate on two such results. The first one, known as Lexell's Theorem (Lexell was a student of Euler), concerns the locus of the vertices of a spherical triangle with a fixed area and a given base. This is the spherical counterpart of a result in Euclid's Elements, but it is much more difficult to prove than its Euclidean analogue. The second result, due to Euler, is the spherical analogue of a generalization of a theorem of Pappus (Proposition 117 of Book VII of the Collection) on the construction of a triangle inscribed in a circle whose sides are contained in three lines that pass through three given points. Both results have many ramifications, involving several mathematicians, and we mention some of these developments. We also comment on three papers of Euler on projections of the sphere on the Euclidean plane that are related with the art of drawing geographical maps.

研究の動機と目的

• オイラーとその学術的関係者たちによる球面幾何学へのあまり知られていないが数学的に豊かな貢献を調査・解釈すること。
• 球面定理の証明に用いられた内在的で微分幾何学的技法、特に変分法と対称性理論を強調し、3次元ユークリッド空間への埋め込みに依存しないこと。
• 球面幾何学とユークリッド幾何学の類似性、特に三角形の軌跡や円の作図の文脈において、それらの歴史的・数学的意義を明確にすること。
• オイラーの門人の、とりわけレクセルやシューベルトの球面三角法および地図投影法の発展に貢献した、あまり評価されていない仕事に注目を向けること。
• 現代の幾何学者が原典を学ぶよう励まし、オイラーの系譜に根ざした球面幾何学が、深さと連続性を有する分野であることを認識すること。

提案手法

• 球面三角法に特化したオイラーの論説を体系的にレビュー・解説し、特に変分法を用いた内在的導出による三角恒等式の導出を含む。
• 球面上の内在的微分幾何学、特に対称性理論と計量的性質を用い、3次元ユークリッド空間への埋め込みを避けた証明を行う。
• テオドシオス、メンエラウス、プトレマイオスの著作の再発見と再解釈を通じた歴史的発展の分析により、オイラーおよびその門人の貢献を文脈づける。
• オイラーの球面投影に関する3篇の主要論文を検討し、面積保存、正則性、子午線と緯線の直交性を保つ地図投影に焦点を当てる。
• ユークリッドの命題37および39とパップスの命題117の類似形を比較し、幾何的双対性を示す。
• レクセル、シューベルト、フスによる三角形の軌跡、球面上の円の性質、多角形測度論に関する結果を統合し、内接円および外接円の半径に関する公式を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラーは、変分法をどのように用いて球面三角恒等式の内在的証明を導いたのか。この手法は、古典的なユークリッド幾何学に基づく導出に比べてどのような利点を提供したのか。
• RQ2 レクセルの定理は球面幾何学においてどのような意義を有するのか。また、固定された底辺と面積を持つ球面三角形の頂点の軌跡が小円であるという結果は、ユークリッドの命題37および39（三角形の面積と底辺の関係）の非自明な球面的類似形としてどのように機能するのか。
• RQ3 オイラーおよびその門人は、3つの与えられた点を通る3本の直線に辺が乗るような円に内接する三角形を構成するパップスの定理の球面的類似形をどのように発展させたのか。この類似形は、球面上の射影幾何学および計量幾何学にどのような意味を持つのか。
• RQ4 オイラーおよびその共同研究者たちは、球面定理の証明において、立体幾何学への依存をどのように回避したのか。また、対称性理論や内在的技法をどのように用いたのか。
• RQ5 球面幾何学は地図作成の発展にどのような役割を果たしたのか。また、オイラーの投影に関する研究は、特定の幾何的性質を保つ地図投影の数学的特徴付けにどのように貢献したのか。

主な発見

• レクセルの定理は、固定された底辺と固定された面積を持つ球面三角形の頂点の軌跡が小円であることを特徴づけ、これはユークリッドの結果の球面的類似形ではあるが、証明がはるかに複雑である。
• オイラーは、パップスの定理（『収穫』第7巻命題117）の球面的類似形を発展させ、3つの与えられた点を通る3本の直線に辺が乗るような円に内接する三角形を構成した。これは古典的ユークリッド幾何学を球面的状況に拡張したものである。
• オイラーは変分法を用いて、球面三角恒等式を3次元ユークリッド空間への球面と原点を通る平面の交線に依存せずに、内在的に導出した。これにより、球面三角法に微分幾何学的基盤を確立した。
• レクセルは、球面三角形の面積に関するヘロンの公式の球面的類似形と、プトレマイオスの定理の球面的版を導出し、球面上の計量的関係の豊かさを示した。
• シューベルトは、レクセルおよびフスの業績を拡張し、さまざまな幾何的制約下での三角形の頂点の軌跡を特定し、球面三角法がプトレマイオスの定理から構築可能であることを示した。これは、標準的な三角関数系とは異なる基礎的代替手段を示している。
• 本稿は、オイラーおよびその門人が、特に対称性理論を用いるなど、内在的技法を体系的に採用しており、3次元ユークリッド空間への埋め込みに依存しない証明を可能としていたことを明らかにした。これは、現代の微分幾何学と類似した、前もって発展した手法的進歩である。