[論文レビュー] On the Zarankiewicz problem for graphs with bounded VC-dimension

Oliver Janzer, Cosmin Pohoata|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、VC次元が $d \geq 3$ である二部グラフにおいて、$K_{k,k}$-free なグラフの辺の数が $o(n^{2-1/d})$ であることを示すことで、極値的グラフ理論における重要なギャップを解消している。これは、以前の $O(n^{2-1/d})$ の境界よりも改善されたものであり、稠密な構造が有界VC次元の設定で生じないことを示すために、超グラフ除去補題と二重数え上げの応用が新規に用いられている。

ABSTRACT

The problem of Zarankiewicz asks for the maximum number of edges in a bipartite graph on $n$ vertices which does not contain the complete bipartite graph $K_{k,k}$ as a subgraph. A classical theorem due to Kővári, Sós, and Turán says that this number of edges is $O\left(n^{2 - 1/k} ight)$. An important variant of this problem is the analogous question in bipartite graphs with VC-dimension at most $d$, where $d$ is a fixed integer such that $k \geq d \geq 2$. A remarkable result of Fox, Pach, Sheffer, Suk, and Zahl [J. Eur. Math. Soc. (JEMS), no. 19, 1785-1810] with multiple applications in incidence geometry shows that, under this additional hypothesis, the number of edges in a bipartite graph on $n$ vertices and with no copy of $K_{k,k}$ as a subgraph must be $O\left(n^{2 - 1/d} ight)$. This theorem is sharp when $k=d=2$, because by design any $K_{2,2}$-free graph automatically has VC-dimension at most $2$, and there are well-known examples of such graphs with $Ω\left(n^{3/2} ight)$ edges. However, it turns out this phenomenon no longer carries through for any larger $d$. We show the following improved result: the maximum number of edges in bipartite graphs with no copies of $K_{k,k}$ and VC-dimension at most $d$ is $o(n^{2-1/d})$, for every $k \geq d \geq 3$.

研究の動機と目的

• 有界VC次元下でのZarankiewicz問題におけるギャップを埋める、特に $d \geq 3$ の場合で、以前の境界がタイトでないことが示されていなかったこと。
• Fox らの $O(n^{2-1/d})$ の境界が $d \geq 3$ では鋭くないことを示す、$d = 2$ の場合にのみタイトである。
• $K_{k,k}$-free な二部グラフでVC次元が $d \geq 3$ 以下である場合、$n^{2-1/d}$ よりもはるかに少ない辺数を持つ必要があることを確立する。
• VC次元の文脈で $O(n^{2-1/d})$ の境界の鋭さを調査し、より強い、多項式的に小さい指数を示唆する予想を提示する。

提案手法

• 有界VC次元と共有された近傍を持つ頂点の配置を分析するために超グラフ除去補題を適用する。
• 稠密な部分構造を支える可能性のある近傍内の $q$-集合の数を制限するために二重数え上げの手法を用いる。
• 共通の近傍や互いに素な近傍集合の数を分析し、このような構成が多すぎるとVC次元制約に矛盾することを導く。
• 禁止部分グラフの比 $\frac{v(H)-2}{e(H)-1}$ に基づいた確率的削除法を用いて下界を構築する。
• VC次元 $d+1$ の特定の禁止グラフ $F$ の構造を用いて、構成におけるVC次元の有界性を保証する。
• 標準的な拡張および確率的分割技術を用いて、望ましいスパarsityおよびVC次元の性質を持つ二部グラフを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 VC次元が $d$ 以下である $K_{k,k}$-free な二部グラフに対して、$O(n^{2-1/d})$ の境界が $d \geq 3$ でタイトか？
• RQ2 同じVC次元制約下で、上界の指数を $n^{2-1/d}$ よりも改善できるか？
• RQ3 VC次元が $d \geq 3$ 以下の $K_{k,k}$-free な二部グラフに対して、辺数の最良の指数は何か？
• RQ4 超グラフ除去補題を、有界VC次元の超グラフに対して著しく良い定量的境界をもたらす方法で応用できるか？
• RQ5 VC次元制約は $k > d \geq 3$ のとき、極値的辺密度にどのように影響するか？

主な発見

• $k \geq d \geq 3$ のとき、VC次元が $d$ 以下の $K_{k,k}$-free な二部グラフの最大辺数は $o(n^{2-1/d})$ であり、以前の $O(n^{2-1/d})$ の境界を改善している。
• この結果は鋭いものであり、$O(n^{2-1/d})$ の境界は $d = 2$ の場合にのみタイトであり、$d \geq 3$ ではタイトではない。
• 共有近傍を持つ $q$-集合の過剰な数え上げによる矛盾を導くことで、証明は根拠を置いている。これは、VC次元制約に反する。
• 確率的技法による下界構成により、$k \geq 2d-5$ の場合に $\Omega(n^{2-1/(d-2-C/d)})$ の辺数が得られ、上界の指数を一般に $2-1/(d-2)$ よりも改善できないことが示されている。
• 著者らは、真の境界が $O(n^{2-1/d-\epsilon})$（ある $\epsilon > 0$）であると予想しており、現在の上界と下界の間には顕著なギャップがあると示唆している。
• この結果は、VC次元制約が、$d \geq 3$ のとき、古典的なKővári–Sós–Turánの境界よりも非自明な改善を強制することを示しているが、二次未塔の密度を強制するものではない。