[論文レビュー] On the zeros of Dirichlet $L$-functions

Sami Omar, Raouf Ouni+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、算術的公式を用いてディリクレL関数のリィ係数の正値性を計算・検証し、部分リーマン予想の基準を提示し、新しい積分および和公式を用いて数値的証拠を提供する。主な貢献は、リィ係数が正であり、かつnに関して増加しているという予想に対する強い数値的支援であり、これが真であればリーマン予想が成立することを示唆する。

ABSTRACT

In this paper, we compute and verify the positivity of the Li coefficients for the Dirichlet $L$-functions using an arithmetic formula established in Omar and Mazhouda, J. Number Theory 125 (2007) no.1, 50-58; J. Number Theory 130 (2010) no.4, 1109-1114. Furthermore, we formulate a criterion for the partial Riemann hypothesis and we provide some numerical evidence for it using new formulas for the Li coefficients.

研究の動機と目的

• 既存の算術的公式を用いて、ディリクレL関数のリィ係数の正値性を計算・検証すること。
• リィ係数に基づいた部分リーマン予想の基準を策定すること。
• リィ係数の効率的な数値計算を向上させるために、新しい積分および和公式を導出すること。
• リィ係数が正であり、nに関して増加しているという予想に対する数値的証拠を提供すること。
• リーマン予想の下で計算された係数と、条件なしに計算された係数を、異なる公式を用いて比較すること。

提案手法

• 文献[10, 11]から導かれた算術的公式を用い、von Mangoldt関数、ガウス和、Hurwitzゼータ関数を用いてリィ係数を表現する。
• ラゲール多項式と素数および素数冪に関する和の上限を用いて、級数の尾の誤差を推定する。
• チェビシェフ多項式と固有値を含む和公式を用いて、リーマン予想の下で係数をより効率的に計算する。
• n ≤ 40のλχ(n)の数値計算を、条件なしの算術的公式と条件付きの和公式の両方を用いて実施する。
• リーマン予想の下での効率的計算のための公式λχ(n, N) = 2∑_{k=1}^N α_k (1 − T_{n−1}( (4γ_k²−1)/(4γ_k²+1) )) を用いる。
• すべての計算において10−ν以内の数値精度を保証するため、誤差項|EM|の推定を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディリクレL関数のリィ係数λχ(n)は、すべてのn ≥ 1に対して正であるか？
• RQ2 リィ係数の振る舞いに基づいて、部分リーマン予想の基準を策定できるか？
• RQ3 リィ係数は単調増加を示すのか？その場合、リーマン予想にどのような意味を持つのか？
• RQ4 新しい積分および和公式を用いて、リィ係数λχ(n)の効率的な数値計算はどのように達成できるか？
• RQ5 算術的公式における誤差推定の精度および収束性は、どのように評価できるか？

主な発見

• 算術的公式を用いて、n ≤ 40の範囲でλχ(n)を条件なしに計算し、その結果、正値性と増加傾向が明確に示された。
• リーマン予想の下では、和公式を用いることで算術的公式よりも高速にλχ(n)を計算可能であり、50個の係数を計算するのに算術的公式では1週間以上を要した。
• χ(mod3)、χ(mod5)、χ(mod20)、χ(mod60)の数値結果から、すべてのn ≤ 40においてλχ(n)が正であり、増加していることが示された。
• 誤差推定|EM| ≤ √n log M + 2/√Mにより、適切に選ばれたMに対して、数値精度が10−ν以内に保証された。
• 著者らは、λχ(n)が正であり、nに関して増加していると予想しており、これが真であればリーマン予想が成立することを示唆する。
• 数値的証拠は、リィ係数が増加しているという予想を支持しており、全テスト対象の特徴およびn ≤ 40の範囲でλχ(n)の値が安定的に上昇している。