[論文レビュー] On the zeros of the second derivative of the Riemann zeta function under the Riemann hypothesis

Ade Irma Suriajaya|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン予想（RH）の下で、アカツカ（2012）のリーマン・ゼータ関数の第一導関数に関する結果を第二導関数へと拡張する。精密化された複素解析的手法と先行研究の主要な補題の修正を用いて、ζ''(s) の非自明な零点の実部の和および高さ T までの零点数について、漸近公式をより鋭く確立する。誤差項はそれぞれ O((log log T)²) および O(log T/(log log T)^{1/2}) に改善された。

ABSTRACT

The number of zeros and the distribution of the real part of non-real zeros of the derivatives of the Riemann zeta function have been investigated by Berndt, Levinson, Montgomery, and Akatsuka. Berndt, Levinson, and Montgomery investigated the general case, meanwhile Akatsuka gave sharper estimates for the first derivative of the Riemann zeta function under the truth of the Riemann hypothesis. In this paper, we extend the results of Akatsuka to the second derivative of the Riemann zeta function.

研究の動機と目的

• リーマン予想の下で、アカツカ（2012）のリーマン・ゼータ関数の第一導関数に関する結果を第二導関数へ拡張すること。
• 臨界帯内の ζ''(s) の非実零点の実部の和について、より鋭い漸近公式を導出すること。
• ζ''(s) の非自明な零点を虚部 ≤ T で数える関数 N₂(T) の数え上げ関数における誤差項を改善すること。
• 特に対数微分および引数推定に関する補題を、第二導関数の場合に適応・修正すること。
• 誤差項がリーマン予想の下で最適なオーダーに達することを確立すること

提案手法

• ζ′(s) の場合にアカツカ（2012）が用いた証明法を ζ′′(s) に適応し、複素積分表現および引数変動の技法に焦点を当てる。
• アカツカの研究における補題2.1を、ζ′′(s) のより複雑な関数等式および対数微分構造に対応できるように修正する。
• 臨界帯における対数微分 ζ′′/ζ(s) の引数を、その正則性および主要領域における引数の有界性を分析することで推定する。
• コーシーの積分定理および閉路積分を用いて、境界積分および引数のジャンプに起因する誤差項を制御する。
• 平均値の定理および極限過程（δ → 0）を適用し、振動的積分から主要項および定数補正項を抽出する。
• 文献に既知の評価を用いて、arg(G₂(1/2 + iT)) および arg(ζ(1/2 + iT)) の評価を介して誤差項の上限を確立する

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン予想の下で、アカツカによるリーマン・ゼータ関数の第一導関数に対する改善済み誤差項は、第二導関数に対しても拡張可能か？
• RQ2 臨界帯内の ζ′′(s) の非自明な零点の実部の和の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ3 虚部が 0 < Im(s) ≤ T を満たす ζ′′(s) の非自明な零点の数え上げ関数 N₂(T) の最適な誤差項は何か？
• RQ4 特に ζ′′/ζ(s) の解析的性質は、ζ′/ζ(s) とどのように異なっているか？
• RQ5 引数変動法は、高階導関数の零点数え上げおよび分布の公式における誤差項を制御するために適応可能か？

主な発見

• リーマン予想の下で、虚部 0 < γ'' ≤ T を満たす ζ''(s) の非実零点 ρ'' = β'' + iγ'' について、(β'' − 1/2) の和は漸近的に (2T/2π)log log(T/2π) + (1/(2π))(1/2 log 2 − 2 log log 2)T − 2 Li(T/2π) + O((log log T)²) に等しい。
• 短区間 (T, T+U] に対して、T < γ'' ≤ T+U を満たす零点について (β'' − 1/2) の和は漸近的に (2U/2π)log log(T/2π) + (1/(2π))(1/2 log 2 − 2 log log 2)U + O(U²/(T log T)) + O((log log T)²) に等しい。
• リーマン予想の下で、ζ''(s) の非自明な零点の数え上げ関数 N₂(T) は、N₂(T) = (T/2π)log(T/4π) − T/2π + O(log T / (log log T)^{1/2}) を満たす。
• 数え上げ公式における誤差項は O(log T / (log log T)^{1/2}) に改善され、これはリーマン予想の下で第一導関数の場合に既知の最良誤差境界と一致する。
• ζ′′(s) に関連するある補助関数 G₂ に対して、arg(G₂(1/2 + iT)) は O_a(log T / (log log T)^{1/2}) で有界であり、誤差項の制御に寄与する。
• ζ(1/2 + iT) の引数は O(log T / log log T) で有界であり、これは既知の結果であり、全体の誤差推定に寄与する。