[論文レビュー] On Theories of Superalgebras of Differentiable Functions

David Carchedi, Dmitry Roytenberg|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、超可換代数への滑らかな関数の評価を可能にする、導来微分幾何学の枠組みとしての超フェルマー理論を導入する。フェルマー理論を超可換代数へ一般化し、すべてのフェルマー理論が自然な超化を備えることを確立し、特に $\mathbf{C}^\infty$-超代数と導来幾何学の文脈において強力な代数的性質を示す近点決定超代数という重要なクラスを特定する。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers laying the foundations for a differential graded approach to derived differential geometry (and other geometries in characteristic zero). In this paper, we study theories of supercommutative algebras for which infinitely differentiable functions can be evaluated on elements. Such a theory is called a super Fermat theory. Any category of superspaces and smooth functions has an associated such theory. This includes both real and complex supermanifolds, as well as algebraic superschemes. In particular, there is a super Fermat theory of C-infinity superalgebras. C-infinity superalgebras are the appropriate notion of supercommutative algebras in the world of C-infinity rings, the latter being of central importance both to synthetic differential geometry and to all existing models of derived smooth manifolds. A super Fermat theory is a natural generalization of the concept of a Fermat theory introduced by E. Dubuc and A. Kock. We show that any Fermat theory admits a canonical superization, however not every super Fermat theory arises in this way. For a fixed super Fermat theory, we go on to study a special subcategory of algebras called near-point determined algebras, and derive many of their algebraic properties.

研究の動機と目的

• 滑らかな超空間、特に実および複素超多様体と代数的超スキームを統一的に扱うための代数的枠組みを構築すること。
• 元々 $\mathbf{C}^\infty$-環上の滑らかな関数を扱うために考案されたフェルマー理論を、超可換設定に一般化する超フェルマー理論を用いて拡張すること。
• 良好な代数的および幾何的性質を有する中心的クラスとしての近点決定超代数を同定し、それらを研究すること。
• $\mathbf{C}^\infty$-超代数が $\mathbf{C}^\infty$-環理論の超化として得られることを確立し、導来微分幾何学において不可欠な役割を果たす。
• 超フェルマー理論を用いて、導来幾何学における微分的グレード付きモデルのカテゴリカルかつ代数的基盤を提供すること。

提案手法

• 超可換代数を拡張する2種類のスロットを持つ代数的理論として超フェルマー理論を定義し、フェルマー性の超化された版を満たす。
• 任意のフェルマー理論の超化を、グラスマン奇数変数を組み込みつつフェルマー性を保つ自然な拡張として構成する。
• 近点決定超代数を、その位相が無限小的に近い点での評価によって決定されるものとして特徴づけ、$\mathbf{C}^\infty$-環からの概念の一般化を実現する。
• 集合の $\SS$-インデックス付き族の圏 $\mathbf{Set}^\SS$ における分離列と合同関係を用いて、代数の商と商の性質を分析し、有効な余等化子とうまく扱える商を保証する。
• 複数スロット付きローヴェル理論およびその代数の理論を用いて、超代数とその準同型をカテゴリカルにモデル化する。
• $\mathbf{C}^\infty$-超代数の圏が超フェルマー理論であり、$\mathbf{C}^\infty$-環理論の超化として生じることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェルマー理論の概念を、滑らかな関数の評価を可能にする超可換代数へどのように拡張できるか？
• RQ2 フェルマー理論を超化する自然な方法は何か？ そしてこの構成が保存する性質は何か？
• RQ3 どの超代数が近点決定的であるか？ また、超フェルマー理論の文脈において、それらが満たす代数的性質は何か？
• RQ4 $\mathbf{C}^\infty$-超代数は超フェルマー理論の枠組みの中でどのように位置づけられるか？ 導来微分幾何学における役割は何か？
• RQ5 超フェルマー代数の圏における商と合同関係のカテゴリカル構造は何か？ 有効なエピモルフィズムとどのように関係するか？

主な発見

• すべてのフェルマー理論は自然な超化を備え、超可換代数への滑らかな関数の評価を一般化する超フェルマー理論を生じる。
• $\mathbf{C}^\infty$-超代数の理論は超フェルマー理論であり、$\mathbf{C}^\infty$-環理論の超化として生じるため、導来微分幾何学において中心的な役割を果たす。
• 近点決定超代数は、その位相が無限小的に近い点での評価によって決定されるという性質によって特徴づけられ、$\mathbf{C}^\infty$-環からの古典的概念の一般化である。
• 超フェルマー代数の圏において、すべての正則エピモルフィズムは有効であり、すべての商は合同関係の余等化子として得られるため、良好なカテゴリカルな性質を有する。
• 超フェルマー代数から $\mathbf{Set}^\SS$ への忘却関手は、反射的余等化子を保存かつ反映する。これは、代数の商がその下位の $\SS$-インデックス付き集合の商に対応することを意味する。
• すべての超フェルマー理論がフェルマー理論の超化として生じるわけではない。これは、超化の構成が理論のレベルで全射ではないことを示している。