[論文レビュー] On theta series attached to maximal lattices and their adjoints

Siegfried Boecherer, Gabriele Nebe|ArXiv.org|Sep 7, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、平方因子なしのレベル $N$ を持つ極大な偶数格子であり、その双対theta級数がモジュラー形式空間 $M_k(N)^*$ において極値境界に達するような二重極値格子を導入し、その性質を研究する。この空間のワイエルシュトラス性質とアトキン＝レナー変換に対するtheta級数の変換法則を活用し、極値性を定義し、レベル $N=2,3,5,7,11,6,10$ の明示的例を構成する。これらの格子は球面5デザインを生成し、強く完備であることが示され、最小ノルムと類数が正確に計算されている。

ABSTRACT

The space spanned by theta series of adjoints of maximal even lattices of exact level $N$ and determinant $N^2$ has the Weierstrass property and hence allows to define extremality for arbitrary squarefree level $N$. We find examples of such dual extremal lattices.

研究の動機と目的

• 平方因子なしのレベル $N$ を持つ極大な偶数格子として、双対theta級数が $M_k(N)^*$ において極値境界に達する二重極値格子を定義・特徴づけること。
• 空間 $M_k(N)^*$ がワイエルシュトラス性を持つことを確立し、任意の平方因子なしの $N$ に対して極値性の定義が可能であることを示すこと。
• レベル $N=2,3,5,7,11,6,10$ にわたる二重極値格子の明示的例を構成し、その類数と最小ノルムを計算すること。
• 二重極値格子がその層において球面5デザインを生成することを証明し、強完全性および球体詰めの局所的最大性を示すこと。

提案手法

• モジュラー空間 $M_k(N)^*$ のワイエルシュトラス性を、レベル $N$ の極大な偶数格子の双対格子のtheta級数によって定義する。
• 行列 $\omega_p^N$ の作用から導かれる、アトキン＝レナー対応におけるtheta級数の変換法則を用い、極大格子を特徴づける。
• スラッシュ作用素 $|_k$ およびヘッケ作用素 $T(p)$, $U(p)$, $V(p)$ を用いて、$M_k(N)^*$ 内のモジュラー形式を分析する。
• 双対格子 $L^\#$ とスケーリング格子 $\sqrt{N}L^\#$ を用い、$\theta(\sqrt{N}L^\#)$ が $M_k(N)^*$ に属することを定義する。
• 局所的ウィット不変量 $s_p(V)$ および $p$-進ジョルダン分解を用い、レベル $p$ における最大性と双対性を分析する。
• 文献 [2], [10], [12] の分類結果を用い、二重極値格子の合同類の数を数え上げ、最小ノルムの検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の平方因子なしのレベル $N$ に対して、$M_k(N)^*$ 内のモジュラー形式の極値性を定義可能か。これは極値格子の意味のある一般化をもたらすか？
• RQ2 極大な偶数格子としての二重極値格子（双対theta級数が極値であるもの）は、その層において球面5デザインを示すような強力な幾何的性質を有するか？
• RQ3 どの次元とレベル $N$ に対して二重極値格子が存在するか。各々の組み合わせに対して、同相類はいくつ存在するか？
• RQ4 $\sqrt{N}L^\#$ の正確な最小ノルムは何か。一般の境界 $2\dim(M_k(N)^*)$ を上回るか？
• RQ5 $N=11$ における二重極値格子は、最小ノルムが極値境界を厳密に上回るか。これは一般理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• レベル $N=2$ において、次元 $2k$ の二重極値格子は $\min(L^\#) = \dim(M_k(2)^*)$ を満たし、その層は球面5デザインを形成する。これは強完全性を示唆する。
• レベル $N=2$、次元 $m=28$ の場合、二重極値格子は31個の同相類を持ち、$\min(\sqrt{2}L^\#) = 6$ であり、すべての層が球面5デザインを形成する。
• レベル $N=3$、次元 $m=28$ の場合、二重極値格子の数は少なくとも $9 \cdot 41610$ 個であり、$\min(\sqrt{3}L^\#) \geq 8/3 > 2$ であり、層は球面5デザインを形成する。
• レベル $N=11$、次元 $m=20$ の場合、極値theta級数の最小ノルムは20であり、$2\dim(M_{10}(11)^*) = 18$ を上回る。これは境界が厳密に達成されることを示している。
• レベル $N=5$、次元 $m=20$ の場合、二重極値格子は329個の同相類を持ち、$\min(\sqrt{5}L^\#) = 8$ であり、theta級数は極値である。
• レベル $N=10$、次元 $m=16$ の場合、二重極値格子は228個の同相類を持ち、$\min(\sqrt{10}L^\#) = 12$ であり、theta級数は極値である。