[論文レビュー] On Three Different Notions of Monotone Subsequences

Miklós Bóna|ArXiv.org|Nov 27, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、置換における単調部分列の3つの異なる概念——標準的パターン回避、タイトな包含、および非常にタイトな包含——を比較し、数え上げの公式、漸近的分布を提示し、ランダムな置換における非常にタイトな12パターンの個数がポアソン(1)分布に収束することを証明している。また、長さkのほとんどすべてのパターンに対して、非常にタイトなコピーの個数は、単調パターンαₖの個数によって上から抑えられることを示している。

ABSTRACT

We review how the monotone pattern compares to other patterns in terms of enumerative results on pattern avoiding permutations. We consider three natural definitions of pattern avoidance, give an overview of classic and recent formulas, and provide some new results related to limiting distributions.

研究の動機と目的

• 置換における単調部分列の3つの異なる定義——標準的パターン回避、タイトな包含、および非常にタイトな包含——を比較すること。
• これらの異なる単調パターンの回避に関する置換の数え上げ的挙動を分析すること、特に長さ3、4、およびkのパターンについて。
• 固定されたパターンの非常にタイトなコピー個数の極限定理を調査し、特に12パターンについて標準的およびタイトなコピーとの比較を行うこと。
• ほとんどすべての長さkのパターンに対して、非常にタイトなコピー個数が単調パターンαₖ = 12⋯kの個数によって上から抑えられることを証明すること。
• 特に対称関数とモーメント法の文脈において、パターン回避および分布極限に関する既知の結果を拡張すること。

提案手法

• パターン回避の標準的定義を用いる：置換pがパターンqを含むとは、pの要素の部分列でqと同じ相対的順序を持つものが存在することを意味する。
• シミオン＝シュマイドの双対写像を用いて、Sₙ(132) = Cₙ（第n期カタラン数）を証明し、これを拡張して、長さ3のすべてのパターンqに対してSₙ(q) = Cₙであることを示す。
• 母関数と対称関数、特にアイラ・ゲゼルのSₙ(1234)に関する公式を用いて、正確な数え上げ結果を導出する。
• モーメント法を適用して分布収束を証明する：非常にタイトな12パターンのj番目のモーメントが、ポアソン(1)分布のj番目のモーメントに収束することを示す。
• pᵢ + 1 = pᵢ₊₁ である事象を表す指標確率変数Zₙ,ᵢを導入し、E(Zₙʲ)を計算することで極限定理を分析する。
• 非常にタイトなパターンqのコピー個数Vₙ(q)に対して上界を証明する。これには、単調パターンαₖの非常にタイトなコピーの確率P(n,i,αₖ)と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的、タイト、非常にタイトという3つの単調部分列の概念は、数え上げ的および分布的挙動においてどのように異なるか？
• RQ2 n ≥ 6のとき、Sₙ(1342)がSₙ(1234)やSₙ(1324)と異なるのはなぜか？ これらはすべて長さ4のパターンである。
• RQ3 固定されたパターンの非常にタイトなコピー個数の極限定理は何か？ 特に12パターンについて。
• RQ4 長さkのパターンqについて、Vₙ(q) ≤ Vₙ(αₖ) となるのはどのようなパターンか？ そしてkが増加するにつれて、このようなパターンはどれほど一般的になるか？
• RQ5 非常にタイトな12パターンの個数がランダムな置換においてポアソン分布に収束することを、モーメント法を用いて証明できるか？

主な発見

• 長さ3のすべてのパターンqに対して、qを回避するn置換の個数は、第n期カタラン数Cₙに等しい。これは具体的なパターンに依存しない。
• 長さ4のパターンについて、Sₙ(1342)、Sₙ(1234)、Sₙ(1324)は互いに異なる数列であり、n ≥ 6のときSₙ(1342)はSₙ(1234)よりも著しく小さい。
• 対称関数を用いたSₙ(1234)の正確な公式が与えられる：Sₙ(1234) = (1/(n+1)²(n+2)) × Σₖ₌₀ⁿ (2k choose k)(n+1 choose k+1)(n+2 choose k+1)。
• Sₙ(1342)の公式は驚くべきものである：交代和と階乗を含み、単純な有理関数や超幾何級数ではない。
• ランダムなn置換における非常にタイトな12パターンの個数は、n → ∞のときポアソン(1)分布に分布収束する。
• 長さkのパターンのほとんどすべて（k → ∞の極限において）について、非常にタイトなコピー個数は、単調パターンαₖ = 12⋯kの個数によって上から抑えられる。