[論文レビュー] On three families of dense Puiseux monoids

Chapman, Scott. T., Marly Gotti+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3つの種類の稠密なプアスォー単項群（k-プライマリ、p-進、乗法的巡回）の原子的構造を調査し、乗法的巡回な原子的プアスォー単項群がFF-単項群であり、かつ恒等的原子的であることを証明している。さらに、ℝ≥0 において稠密な原子集合を持つ無限に多くの同型でない原子的プアスォー単項群の構成も行っている。

ABSTRACT

A positive monoid is a submonoid of the nonnegative cone of a linearly ordered abelian group. The positive monoids of rank $1$ are called Puiseux monoids, and their atomicity, arithmetic of length, and factorization have been systematically investigated for about ten years. Each Puiseux monoid can be realized as an additive submonoid of the nonnegative cone of $\mathbb{Q}$. We say that a Puiseux monoid is dense if it is isomorphic to an additive submonoid of $\mathbb{Q}_{\ge 0}$ that is dense in $\mathbb{R}_{\ge 0}$ with respect to the Euclidean topology. Every non-dense Puiseux monoid is known to be a bounded factorization monoid. However, the atomic structure as well as the arithmetic and factorization properties of dense Puiseux monoids turn out to be quite interesting. In this paper, we study the atomic structure and some arithmetic and factorization aspects of three families of dense Puiseux monoids.

研究の動機と目的

• 稠密なプアスォー単項群の複雑な原子的構造を理解すること。これは反物質的、原子的、あるいは有限個または可算無限個の原子を持つ可能性がある。
• ℝ≥0 において稠密な原子集合を持つ無限に多くの同型でない原子的プアスォー単項群を構成すること。
• k-プライマリおよび乗法的巡回なプアスォー単項群の内部における反物質的および恒等的原子的部分族を特徴付けること。
• p-進プアスォー単項群における原子的性の必要十分条件を確立し、より広い族へと結果を拡張すること。

提案手法

• 特定の有理数形を持つ生成元を選んで無限族の原子的プアスォー単項群を構成し、その原子集合がℝ≥0 で稠密であることを保証する。
• k-プライマリプアスォー単項群を一般化し、素数のべきに関する付値論的議論を用いてその原子的性を分析する。
• p-進付値技術を用いて、分母が固定された素数のべきであるプアスォー単項群がいつ原子的であるかを特定する。
• すべての原子的乗法的巡回プアスォー単項群がFF-単項群であることを証明する。これは、すべての元が有限個の原子への分解しか持たないことを意味する。
• 順序体におけるすべてのBF-単項群が恒等的原子的であるという結果を用い、それを稠密なプアスォー単項群へと拡張する。
• 部分単項群の埋め込みと分子におけるGCD条件を用いて、より広い範囲のプアスォー単項群族における恒等的原子的性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ≥0 において稠密な原子集合を持つ無限に多くの同型でない原子的プアスォー単項群を構成することは可能か？
• RQ2 どのk-プライマリプアスォー単項群が反物質的であり、それらを特徴付ける条件は何か？
• RQ3 p-進プアスォー単項群が原子的であるための必要十分条件は何か？
• RQ4 すべての原子的乗法的巡回プアスォー単項群は恒度的原子的であり、かつFF-単項群の性質を満たすか？
• RQ5 分子に共通の素因数をもつ有理数のべきによって生成されるプアスォー単項群が、いつ恒度的原子的となるか？

主な発見

• 本稿は、ℝ≥0 において稠密な原子集合を持つ無限に多くの同型でない原子的プアスォー単項群を構成している。
• k-プライマリプアスォー単項群の部分族は、生成元の分子の最大公約数が1より大きい場合に反物質的であると特徴付けられる。
• すべての原子的乗法的巡回プアスォー単項群はFF-単項群である。これは、すべての元が有限個の原子への分解しか持たないことを意味する。
• すべての原子的乗法的巡回プアスォー単項群は恒度的原子的である。これは、そのすべての部分単項群が原子的であることを意味する。
• 分子の生成元が共通の素因数をもつという条件は、恒度的原子的性の必要条件である。この条件が満たされない場合、非恒度的原子的単項群が生じ得る。
• プアスォー単項群 ⟨(2/77)^n, (3/77)^m | n,m∈ℕ⟩ は、部分単項群 ⟨1/7^k | k∈ℕ⟩ を含むため、恒度的原子的でない。