[論文レビュー] On three notions of shadowing

Chris Good, Piotr Oprocha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、定数勾配をもつテント写像および区分的線形区間写像において、古典的シャドーイング、s-極限シャドーイング、およびリンク性の等価性を確立する。一方で、反例を構成することで、古典的シャドーイングが極限シャドーイングを含意しないことを示している。さらに、最大転送的部分系および逆極限（自然拡張）におけるシャドーイング性の振る舞いを分析し、反例を用いて結果の最適性を示している。

ABSTRACT

We study three notions of shadowing: classical shadowing, limit (or asymptotic) shadowing, and s-limit shadowing. We show that classical and s-limit shadowing coincide for tent maps and, more generally, for piecewise linear interval maps with constant slopes, and are further equivalent to the linking property introduced by Chen in 1991. We also construct a system which exhibits shadowing but not limit shadowing, and we study how shadowing properties transfer to maximal transitive subsystems and inverse limits (sometimes called natural extensions). Where practicable, we show that our results are best possible by means of examples.

研究の動機と目的

• 古典的シャドーイング、極限（漸近的）シャドーイング、およびs-極限シャドーイングの3つのシャドーイング概念の関係を調査すること。
• 古典的シャドーイングが極限シャドーイングを含意するかどうかを特定し、それらが一致する条件を同定すること。
• 最大転送的部分系および逆極限（自然拡張）へのシャドーイング性の伝達を検討すること。
• 反例を用いて、結果の最適性を評価すること。すなわち、同値性の範囲をさらに拡張できるかどうかを検証すること。

提案手法

• 定数勾配をもつテント写像および区分的線形区間写像を分析し、シャドーイング性を比較すること。
• Chen (1991) が定義したリンク性を導入し、同値性の統一的枠組みとして用いること。
• 古典的シャドーイングを示すが極限シャドーイングを示さない特定の力学系を構成することで、含意関係の非成立を示すこと。
• 逆極限（自然拡張）を用いて、拡張された系におけるシャドーイング性の保存または変化を研究すること。
• 位相的および力学系的手法を適用し、シャドーイング概念の同値性および非同値性を検証すること。
• 同値性がさらに拡張可能でないことを示す反例を提示することで、同値性が最良であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テント写像および定数勾配をもつ区分的線形区間写像において、古典的シャドーイングとs-極限シャドーイングは一致するか？
• RQ2 古典的シャドーイングは極限シャドーイングを含意するのだろうか？あるいは、古典的シャドーイングを示すが極限シャドーイングを示さない系が存在するのか？
• RQ3 最大転送的部分系に制限した場合、シャドーイング性はどのように振る舞うか？
• RQ4 逆極限（自然拡張）においてシャドーイング性はどのように保存されるか？
• RQ5 シャドーイング概念の同値性は最適であるか？それとも、より広いクラスの写像へ拡張可能か？

主な発見

• テント写像およびより一般に定数勾配をもつ区分的線形区間写像において、古典的シャドーイングとs-極限シャドーイングは等価である。
• Chen (1991) が導入したリンク性は、同じクラスの写像において、古典的シャドーイングおよびs-極限シャドーイングと等価である。
• 古典的シャドーイングを示すが極限シャドーイングを示さない力学系が存在することを示し、古典的シャドーイングが極限シャドーイングを含意しないことを証明した。
• 研究対象のクラスの写像において、最大転送的部分系へのシャドーイング性の保存が成立する。
• 逆極限（自然拡張）へのシャドーイング性の伝達を分析し、性質が保持される条件を同定した。
• 反例により、同値性が最良であることが示された。つまり、同値性の拡張は追加の仮定なしには不可能である。