[論文レビュー] On three open problems related to quasi relative interior

Constantin Zălinescu|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2014

Advanced Banach Space Theory参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、凸解析における準相対内部（qri）に関する3つの未解決問題を解決する。和集合の準内部が常に和の内部に等しくないことを示す反例を提示し、qriC ∩ qriD ≠ ∅ のとき qri(C ∩ D) ⊆ qriC ∩ qriD が成り立つことを証明することで、BorweinとGoebel（2003）の2つの質問と、GradとPop（2014）の1つの予想に答えている。主な貢献は、緩い条件下で交差計算規則の有効性を確立し、ℓ₂空間における反例を通じて和則における真包含を示したことにある。

ABSTRACT

We give answers to two questions formulated by Borwein and Goebel in 2003 and to a conjecture formulated by Grad and Pop in 2014 related to calculus rules for quasi (relative) interior.

研究の動機と目的

• BorweinとGoebel（2003）が提起した、凸集合の準相対内部の計算規則に関する2つの未解決問題を解決すること。
• GradとPop（2014）が提起した予想、すなわち、qiB ≠ ∅ を満たす凸集合 A, B に対して A + qiB = qi(A + B) が成り立つかどうかを検証または反証すること。
• 特に無限次元の局所凸空間において、qriの交わりと和の法則が成り立つ条件を明確にすること。
• ℓ₂空間における反例を提示し、qriC + qriD が qri(C + D) の真部分集合であることを示すことで、和則が常に等号とは限らないことを示すこと。
• qriC ∩ qriD ≠ ∅ のとき qri(C ∩ D) ⊆ qriC ∩ qriD が成り立つことを確認し、かつ以前に不確かとされた包含関係を明確にすること。

提案手法

• ヒルバート空間 ℓ₂ において、(n⁻¹)ₙ≥₁ の列と正の錐 ℓ₁⁺ を用いて、和則における真包含を示す反例を構成する。
• qriC を {x ∈ C | cl(cone(C − x)) = cl(lin₀C)} として特徴づけることで、無限次元空間における qri 集合の構造を分析する。
• 双対理論を用い、支持汎関数を介して：x₀ ∉ qriC であることと、ある x* ∈ X* extbackslash {0} が存在して ⟨x₀, x*⟩ = inf x*(C) となることとは同値であることを応用する。
• qriC = C ∩ qri(clC) の恒等式を用いて、qri をその閉包に関連づけ、境界点の分析を可能にする。
• qi(C + D) = qi(C + qiD) ⊂ qi(C + D) の性質を用いて、ミンコフスキー加法における準内部の振る舞いを分析する。
• C ∩ qriD ≠ ∅ のとき qri(C ∩ D) ⊆ C ∩ qriD が成り立つことを利用し、より強い交差仮定のもとで qriC ∩ qriD へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GradとPop（2014）が予想したように、qiB ≠ ∅ を満たすすべての凸集合 A, B に対して A + qiB = qi(A + B) が成り立つかどうか。
• RQ2 qriC + qriD ⊂ qri(C + D) の包含関係が真である、すなわち qriC + qriD ≠ qri(C + D) となる場合があるか。
• RQ3 qriC ∩ qriD ≠ ∅ のとき、qri(C ∩ D) ⊆ qriC ∩ qriD が成り立つかどうか、BorweinとGoebel（2003）が提起した疑問に答える。
• RQ4 無限次元空間における凸集合 C で、qriC が qiC の真部分集合である、あるいは qiC ≠ ∅ だが qriC = ∅ であるようなものがあるか。
• RQ5 2つの集合の和の準相対内部が、それらの準相対内部の和によって生成されない場合があるか。

主な発見

• GradとPop（2014）の予想、すなわち、qiB ≠ ∅ を満たす凸集合 A, B に対して A + qiB = qi(A + B) が成り立つという仮定は、ℓ₂空間における反例によって誤りであると示された。
• 一般に、qriC + qriD ⊂ qri(C + D) の包含関係は真であることが示された。例として、x̄ = (n⁻¹)ₙ≥₁ が qi(C + D) に属するが C + qiD には属さない場合がある。
• C = [0,1]x̄ で x̄ = (n⁻¹)ₙ≥₁ とすると、qriC = (0,1)x̄ であり、D = ℓ₁⁺ とすると、qiD = qriD = {x ∈ ℓ₁ | xₙ > 0 for all n} である。このとき、x̄ ∈ qi(C + D) だが x̄ ∉ C + qiD である。
• qriC ∩ qriD ≠ ∅ のとき、qri(C ∩ D) ⊆ qriC ∩ qriD が成り立つことが確認され、BorweinとGoebel（2003）が提起した疑問に対して肯定的な回答が得られた。
• 反例は、C や D がともに閉かつ凸であり、qiD ≠ ∅ であっても、それらの準内部の和が和の準内部に到達しない場合があることを示している。
• この結果は、qriの計算規則が他の内部概念よりもはるかに制限的であることを示しており、無限次元設定において和則を適用する際には注意が必要であることを示唆している。