[論文レビュー] On time scales and quasi-stationary distributions for multitype birth-and-death processes

Jean-René Chazottes, Pierre Collet+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、関連する決定的ODEに一意の内部安定固定点をもつ多型出生死滅過程に対して、一意の準定常分布（qsd）の存在を確立し、非絶滅条件下での過程が指数的に速くqsdに収束することを証明する。$ K $ が大きい場合、絶滅までの平均時間は $ K $ に対して指数的に大きくなり、非絶滅条件下の過程とqsdとの全変動距離は $ t \gg \log K $ の時間において指数的に減少し、準定常的状態の性質が定量的に明らかになる。

ABSTRACT

We consider a class of birth-and-death processes describing a population made of $d$ sub-populations of different types which interact with one another. The state space is $\mathbb{Z}_+^d$ (unbounded). We assume that the population goes almost surely to extinction, so that the unique stationary distribution is the Dirac measure at the origin. These processes are parametrized by a scaling parameter $K$ which can be thought as the order of magnitude of the total size of the population at time $0$. For any fixed finite time span, it is well-known that such processes, when renormalized by $K$, are close, in the limit $K o+\infty$, to the solutions of a certain differential equation in $\mathbb{R}_+^d$ whose vector field is determined by the birth and death rates. We consider the case where there is a unique attractive fixed point (off the boundary of the positive orthant) for the vector field (while the origin is repulsive). What is expected is that, for $K$ large, the process will stay in the vicinity of the fixed point for a very long time before being absorbed at the origin. To precisely describe this behavior, we prove the existence of a quasi-stationary distribution (qsd). In fact, we establish a bound for the total variation distance between the process conditioned to non-extinction before time $t$ and the qsd. This bound is exponentially small in $t$, for $t\gg \log K$. As a by-product, we obtain an estimate for the mean time to extinction in the qsd. We also quantify how close is the law of the process (not conditioned to non-extinction) either to the Dirac measure at the origin or to the qsd, for times much larger than $\log K$ and much smaller than the mean time to extinction, which is exponentially large as a function of $K$. Let us stress that we are interested in what happens for finite $K$. We obtain results much beyond what large deviation techniques could provide.

研究の動機と目的

• 有限な集団でほぼ確実に絶滅する多型出生死滅過程の長期的挙動を記述すること。
• 関連する決定的ODEに一意の内部安定固定点をもつ場合、このような過程に対して一意の準定常分布（qsd）の存在を確立すること。
• 非絶滅条件下での過程のqsdへの収束速度を特定すること、特に $ K $ が大きい場合に注目すること。
• qsd下での平均絶滅時間の推定と、吸収前の過程の分布の特徴づけ。

提案手法

• 状態空間 $ \mathbb{Z}^d_+ \setminus \{0\} $ 上のマコフ跳躍過程のクラスを分析し、出生・死滅率を $ K $ でスケーリングすることで、$ K \to \infty $ の極限で決定的ODEが得られる。
• 固定点 $ \mathbf{x}^* $ の近傍でのダイナミクスを制御するためのリャプノフ関数を用い、安定性を保証するとともに、qsdの構成を導く。
• 「4領域の補題」を適用して状態空間を分割し、固定点付近、原点付近、一時的領域の各領域における過程の挙動を制御する。
• 非絶滅条件下の過程とqsdとの全変動距離に対して指数的バウンディングを確立し、$ t \gg \log K $ のとき $ \exp(-c t) $ のように減少することを示す。
• qsd下での平均絶滅時間の上界と下界を導出し、$ K $ に対して指数的に大きくなることを示す。
• 双対性と詳細釣り合いの議論を用いて不変測度の存在を分析するが、主な手法は詳細釣り合いに依存せず、高次元では制限的であるため。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関連するODEに一意の内部安定固定点をもつ多型出生死滅過程に対して、準定常分布が存在するか？
• RQ2 非絶滅条件下での過程が準定常分布にどれほど速く収束するか？
• RQ3 $ K $ が大きい場合の平均絶滅時間の漸近的挙動は何か？
• RQ4 $ \log K $ よりはるかに大きく、平均絶滅時間よりはるかに小さい時間 $ t $ において、非条件付き過程は絶滅におけるデルタ測度やqsdにどれほど近いか？

主な発見

• 関連するODEに一意の内部安定固定点をもつ多型出生死滅過程に対して、一意の準定常分布が存在する。
• 非絶滅条件下の過程とqsdとの全変動距離は、時間 $ t $ に対して指数的に減少し、特に $ t \gg \log K $ のとき $ \exp(-c t) $ のように減少する。
• qsd下での平均絶滅時間は $ K $ に対して指数的に大きくなり、固定点近傍での生成子のスペクトルギャップに依存する。
• $ t \gg \log K $ だが $ t \ll \mathbb{E}[T_{\text{ext}}] $ のとき、非条件付き過程の分布はqsdに指数的に近くなるが、$ t \gg \mathbb{E}[T_{\text{ext}}] $ のときには原点におけるデルタ測度に近くなる。
• 結果は $ K $ に対して漸近的でないため、大偏差理論が達成できる範囲をはるかに超えて鋭い定量的推定を提供する。
• 詳細釣り合いに依存しない手法を用いるため、相互作用種間競争を含む、詳細釣り合いが成立しないモデルの広いクラスに適用可能である。