[論文レビュー] On Topological and Metrical Properties of Stabilizing Feedback Gains: the MIMO Case

Jingjing Bu, Afshin Mesbahi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 17被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、連続時間および離散時間の多入力多出力（MIMO）線形時不変（LTI）システムにおける安定化フィードバックゲインの位相的および計量的性質を調査する。安定化状態フィードバックゲインの集合は開集合であり、非有界で、かつ収縮可能であることが示され、出力フィードバックゲインは開集合ではあるが、必ずしも連結ではない。特に、構造的安定化ゲインが指数関数的に多くの連結成分を示す離散時間MIMOシステムを構築した。これは連続時間における既知の結果と類似しており、勾配ベースの学習アルゴリズムが制御合成において根本的な課題に直面することを示している。

ABSTRACT

In this paper, we discuss various topological and metrical aspects of the set of stabilizing static feedback gains for multiple-input-multiple-output (MIMO) linear-time-invariant (LTI) systems, in both continuous and discrete-time. Recently, connectivity properties of this set (for continuous time) have been reported in the literature, along with a discussion on how this connectivity is affected by restricting the feedback gain to linear subspaces. We show that analogous to the continuous-time case, one can construct instances where the set of stabilizing feedback gains for discrete time LTI systems has exponentially many connected components.

研究の動機と目的

• 連続および離散時間におけるMIMO LTIシステムの安定化フィードバックゲイン集合の位相的および計量的構造を分析すること。
• フィードバックゲイン構造（例：スパarsity、線形部分空間）の制約が、安定化集合の連結性および幾何学的性質に与える影響を調査すること。
• SISOシステムにおける既知の結果をMIMOシステムに拡張し、特に安定化ゲイン集合の連結成分数に関する考察をすること。
• 状態フィードバックおよび出力フィードバックの下で、安定化ゲイン集合の厳密な位相的特徴（開集合性、収縮可能性、有界性）を提供すること。
• 離散時間MIMOシステムにおいて、構造的安定化ゲイン集合に指数関数的に多くの連結成分が現れることを示し、連続時間現象と類似することを示すこと。

提案手法

• 微分位相幾何学および行列安定性理論を用いて、閉ループ系がHurwitz（連続時間）またはSchur（離散時間）安定となるフィードバックゲイン集合を分析する。
• スペクトル半径に関するGelfandの公式を適用し、特定の構造的制約下でゲイン空間内の凸経路に沿った経路連結性を証明する。
• $k$ 個の独立した2×2サブシステムを埋め込むことで、$2^k$ 個の連結成分を持つブロック対角MIMOシステムを構築する。
• 線形制約（例：$u_{12} = -a^2 u_{21}$）による構造的フィードバックゲインのパrametrizationを用い、Schur安定性の固有値の絶対値条件を導出する。
• スペクトル半径 $\rho(A - BK) < 1$ がゲイン空間で開集合を定義することを活用し、安定化集合の開集合性を保証する。
• ブロック対角システムの直積構造を用いて、ブロック間の連結成分数が乗算されることを示し、$k$ 個のブロックに対して $2^k$ 個の成分が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間および離散時間におけるMIMO LTIシステムの安定化フィードバックゲイン集合の位相的性質（例：連結性、収縮可能性）には、どのような相違があるか？
• RQ2 構造的フィードバック制約下で、離散時間MIMOシステムの安定化フィードバックゲイン集合が、連続時間と同様に指数関数的に多くの連結成分を示すことは可能か？
• RQ3 線形部分空間制約がフィードバックゲイン行列に与える影響は、安定化集合の連結性および幾何学的性質にどのような影響を及えるか？
• RQ4 システム行列 $A$ および $B$ の構造が、安定化ゲイン集合における連結成分数に与える影響は何か？
• RQ5 勾配ベースの制御合成学習アルゴリズムは、安定化ゲイン集合の非凸的かつ非連結な性質により、どの程度制限を受けるか？

主な発見

• 離散時間MIMO LTIシステムの安定化状態フィードバックゲイン集合は、ユークリッド位相において開集合であり、非有界で、かつ収縮可能である。
• 安定化出力フィードバックゲイン集合は開集合ではあるが、必ずしも連結ではなく、有界または非有界の両方が可能である。
• 線形部分空間によって定義される構造的フィードバックゲインの場合、安定化集合の連結成分数は、状態数に指数関数的に依存して増加する可能性がある。
• 各サブシステムが $|a_j| > 2$ を満たす $k$ 個の2×2ブロックサブシステムを用いた特定の構成により、離散時間MIMOシステムの安定化ゲイン集合に正確に $2^k$ 個の連結成分が得られる。
• この結果により、連続時間システムにおける既知の現象が離散時間MIMOシステムへと拡張され、指数的連結性が連続時間に限らず生じることを示している。
• スペクトル半径条件 $\rho(A - BK) < 1$ はゲイン空間において開集合を定義し、特定の構造的仮定の下では、凸経路が安定性を保つことが保証され、制約付きケースにおける連結性が証明される。