[論文レビュー] On topological complexity and LS-category

Alexander Dranishnikov|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、位相的複雑性（TC）とLSカテゴリーの関係を調査し、Iwase-Sakai予想である、$TC^M(X) = TC(X)$ が $TC(X) > \dim X + 1$ の条件下で成り立つことを証明し、$TC(X \vee Y)$ の境界を提示する。また、被覆写像の下でTCが単調であるという予想を反証し、LSカテゴリーを用いてArnold-Kuiper定理の短い証明を与える。

ABSTRACT

We present some results supporting the Iwase-Sakai conjecture about coincidence of the topological complexity $TC(X)$ and monoidal topological complexity $TC^M(X)$. Using these results we provide lower and upper bounds for the topological complexity of the wedge $X\vee Y$. We use these bounds to give a counterexample to the conjecture asserting that $TC(X')\le TC(X)$ for any covering map $p:X' o X$. We discuss a possible reduction of the monoidal topological complexity to the LS-category. Also we apply the LS-category to give a short proof of the Arnold-Kuiper theorem.

研究の動機と目的

• ENRに対して、特に $TC(X) > \dim X + 1$ の条件下で、$TC^M(X) = TC(X)$ が成り立つことを支持する。
• 楔和 $X \vee Y$ の位相的複雑性 $TC(X \vee Y)$ の下界と上界を確立する。
• 被覆写像 $p: X' \to X$ に対して $TC(X') \leq TC(X)$ が成り立つという予想を反証する。
• 非コンパクト空間に対する新しい $\infty$-カテゴリー不変量を介して、モノイダル位相的複雑性をLSカテゴリーに還元する可能性を検討する。
• LSカテゴリーを応用して、$\mathbb{C}P^2 / \mathbb{Z}_2 \cong S^4$ の軌道空間に関するArnold-Kuiper定理の簡潔な証明を与える。

提案手法

• Weinbergerの補題を用いて、$X$ がリー群であるとき $TC^M(X) = TC(X)$ を示す。
• 非コンパクト空間に対して $\infty$-カテゴリーの概念を適用し、$TC^M(X)$ を $\operatorname{cat}(X \times X / \Delta X)$ と $\infty\text{-}\operatorname{cat}(X \times X \setminus \Delta X)$ に結びつける。
• 開被覆の構造と経路ファイブレーション $\pi: PX \to X \times X$ のセクションを用いて、$TC(X \vee Y)$ の境界を確立する。
• ファイブレーションのSchwarzジャンルを適用し、$C_p$ のマッピングコーンのカテゴリー $\operatorname{cat}(C_p)$ と $\infty\text{-}\operatorname{cat}(C_p \setminus \{\ast\})$ を含む不等式を導出する。
• $\mathbb{C}P^2 \cong SP^2(S^2)$ が等変に成り立つことを利用して、$\mathbb{Z}_2$-作用と軌道空間を分析する。
• $U$ が開かつ可縮で、$F$ がコンパクトかつ $\bar{D}_+$ に位相的に同型であるような開被覆 $M = F \cup U$ を構成し、$\operatorname{cat}(M) = 2$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $TC^M(X) = TC(X)$ はすべてのENRで成り立つのか。特に $TC(X) > \dim X + 1$ のとき成り立つか。
• RQ2 $X$ と $Y$ の複雑性を用いて、楔和 $X \vee Y$ の位相的複雑性を境界づけることができるか。
• RQ3 被覆写像 $p: X' \to X$ の下で、位相的複雑性は単調であるのか。すなわち $TC(X') \leq TC(X)$ が成り立つか。
• RQ4 非コンパクト空間に対して、修正されたLSカテゴリー不変量を用いてモノイダル位相的複雑性を特徴づけられるか。
• RQ5 LSカテゴリーを用いて、Arnold-Kuiper定理の短い証明を与えることができるか。

主な発見

• Iwase-Sakai予想 $TC^M(X) = TC(X)$ は、$TC(X) > \dim X + 1$ のとき成り立ち、Weinbergerの補題を用いてリー群の場合に証明された。
• 論文は $TC(X \vee Y)$ の境界を提示し、$TC(X \vee Y)$ が $TC(X) + TC(Y)$ で上から抑えられ、$\max\{TC(X), TC(Y)\}$ で下から抑えられることを示しているが、正確な公式は与えられていない。
• 被覆写像 $p: X' \to X$ に対して $TC(X') \leq TC(X)$ が成り立つという予想を反証する反例を構成し、一般には不等式が成り立たないことを示した。
• モノイダル位相的複雑性 $TC^M(X)$ は $\operatorname{cat}(X \times X / \Delta X)$ と $\infty\text{-}\operatorname{cat}(X \times X \setminus \Delta X)$ の間にはさまれており、LSカテゴリーへの還元の可能性を示唆している。
• LSカテゴリーを用いて $\operatorname{cat}(\mathbb{C}P^2 / \mathbb{Z}_2) = 2$ を短く証明し、Freedmanの定理により軌道空間が $S^4$ に位相的に同型であることを示した。
• $\mathbb{C}P^2 / \mathbb{Z}_2$ は4次元多様体としてカテゴリー2であることが示され、閉じた4次元多様体でカテゴリー2のものはホモトピー的に $S^4$ と同値であるため、$S^4$ に位相的に同型である。