[論文レビュー] On topological complexity of Eilenberg-MacLane spaces

Yuli B. Rudyak|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の整数 $ k $ と $ l $ に対して $ k \leq l \leq 2k $ を満たすとき、Eilenberg-MacLane空間 $ K(\pi,1) $ が Lusternik-Schnirelmann次元 $ k $ およびトポロジカル複雑度 $ l $ を持つような離散群 $ \pi $ が存在することを確立する。この構成は、自由アーベル群の自由積、特に $ \pi = \mathbb{Z}^k * \mathbb{Z}^{l-k} $ を用いて、すべてのこのようなペアを実現し、トポロジカル複雑度の純粋な群論的特徴付けの必要性を強調する。

ABSTRACT

We note that, for any natural $k$ and every natural $l$ between $k$ and $2k$, there exists a group $π$ with $\cat K(π,1)=k$ and $\TC(K(π,1))=l$. Because of this, we can set up a problem of searching of purely group-theoretical description of $\TC(K(π,1))$ as an invariant of $π$.

研究の動機と目的

• 任意の整数 $ k $ と $ l $ に対して $ k \leq l \leq 2k $ を満たすとき、$ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) = k $ かつ $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) = l $ を満たす群 $ \pi $ が存在することを示すこと。
• $ K(\pi,1) $-空間のトポロジカル複雑度が、コhomological不変量のみでは完全に決定されないことを示し、より深い群論的記述の必要性を示すこと。
• 具体的な例 $ \pi = \mathbb{Z}^k * \mathbb{Z}^{l-k} $ を構成し、すべての可能な $ (\operatorname{cat}, \operatorname{TC}) $ ペアを実現すること。
• 既知の群論的不変量（例えばコhomological次元）と $ K(\pi,1) $-空間のトポロジカル複雑度との間のギャップを強調すること。
• $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) $ が既に $ \pi $ のコhomological次元に等しいことが知られているのに対し、$ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) $ の純粋な群論的特徴付けの探求を動機づけること。

提案手法

• $ m $-トーラス $ T^m $ に対して $ \operatorname{cat}(T^m) = m $ であるという既知の結果を用い、$ K(\pi,1) $-空間の次元を確立する。
• $ \pi = \mathbb{Z}^k * \mathbb{Z}^{l-k} $ を構成し、対応する $ K(\pi,1) $ が CW 複体における楔和の加法性を用いて $ T^k \vee T^{l-k} $ とホモトピー同値であることを示す。
• Dranishnikov の結果から導かれる不等式 $ \operatorname{cat}(G \times H) \leq \operatorname{TC}(G \vee H) \leq \operatorname{cat}G + \operatorname{cat}H $ を用い、楔のトポロジカル複雑度を評価する。
• $ \operatorname{cat}(T^l) = l $ および $ \operatorname{cat}(T^k) + \operatorname{cat}(T^{l-k}) = k + (l - k) = l $ を用い、$ \operatorname{TC}(T^k \vee T^{l-k}) = l $ が成り立つことを示し、等号が成立することを示す。
• $ \operatorname{cat}(X \vee Y) = \max(\operatorname{cat}X, \operatorname{cat}Y) $ であり、$ \operatorname{cat}(T^k) = k $、$ \operatorname{cat}(T^{l-k}) = l-k < k $ であることから、$ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) = k $ であることを確認する。
• 結論として、$ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) = l $ であることが示され、$ \operatorname{cat} $ が与えられたときの $ \operatorname{TC} $ のすべての可能な値が実現されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の整数ペア $ (k, l) $ に対して $ k \leq l \leq 2k $ を満たすとき、ある $ K(\pi,1) $-空間の Lusternik-Schnirelmann次元とトポロジカル複雑度として実現可能か？
• RQ2 コhomological次元による $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) $ の記述に類似した、$ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) $ の純粋な群論的記述は存在するか？
• RQ3 $ K(\pi,1) $-空間のトポロジカル複雑度は、コhomological次元を越えて、群構造にどの程度依存するか？
• RQ4 トーラスの楔のトポロジカル複雑度は、因子の次元とその積の次元から純粋に計算可能か？
• RQ5 どのくらいの最小の群のクラスに対して、$ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) $ が $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) $ から $ 2\operatorname{cat}(K(\pi,1)) $ のすべての値をカバーするか？

主な発見

• 任意の整数 $ k $ と $ l $ に対して $ k \leq l \leq 2k $ を満たすとき、$ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) = k $ かつ $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) = l $ を満たす離散群 $ \pi $ が存在する。
• 群 $ \pi = \mathbb{Z}^k * \mathbb{Z}^{l-k} $ はこのペアを実現し、$ K(\pi,1) \simeq T^k \vee T^{l-k} $ であり、トポロジカル複雑度は正確に $ l $ に等しい。
• $ K(\pi,1) $-空間のトポロジカル複雑度はコhomological次元のみでは制限されないため、以前の仮定よりもより豊かな構造を有することが示唆される。
• この構成により、不等式 $ \operatorname{cat}(X) \leq \operatorname{TC}(X) \leq \operatorname{cat}(X \times X) $ が $ K(\pi,1) $-空間のクラスにおいて鋭いものであることが確認され、全範囲で等号が成立しうることを示す。
• この結果により、$ \pi $ のコhomological次元のみでは $ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) $ を決定できないことが示され、$ \operatorname{TC} $ の群論的不変量の探索は、必要かつ非自明であることが明らかになる。
• $ \operatorname{cat}(K(\pi,1)) = k $ であっても、$ \operatorname{TC}(K(\pi,1)) $ が $ [k, 2k] $ の範囲内で独立に変動しうることを示し、群構造に非自明な依存性があることを実証する。