[論文レビュー] On topological full groups of Z^d-actions

Maksym Chornyi, Kate Juschenko+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2016

Cellular Automata and Applications参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、カントール集合上の最小的 $ȡa^d$-作用の位相的フル群を用いて、区間移動変換やペニーローズタイルと関連する、単純で、有限生成で無限なアメーブル群の新しい例を構成する。また、このような作用の位相的フル群の導来部分群が有限生成で単純であることを証明し、非自明なアメーブル群を提供する。

ABSTRACT

We give new examples of simple finitely generated groups arising from actions of free abelian groups on the Cantor sets. As particular examples, we discuss groups of interval exchange transformations, and a group naturally associated with the Penrose tilings. Many groups in this class are amenable.

研究の動機と目的

• 位相的フル群の $ȡa^d$-作用から、非自明なアメーブル群のクラスを拡張する新しい例を構成すること。
• カントール集合上での最小的 $ȡa^d$-作用の位相的フル群の導来部分群が有限生成で単純であることを証明すること。
• ペニーローズタイルの力学系の位相的フル群と、局所的平行移動によって作用するカントール集合上の群との間の関係を確立すること。
• チャウの結果（単純で有限生成で無限な群は非自明なアメーブル群に属しない）を用いて、これらの群が非自明なアメーブル群でないことを示すこと。

提案手法

• 有限アルファベット $χ$ に対して、$χ^{ȡa^d}$ の閉じた $\sigma$-不変部分集合上での最小的で忠実かつ自由な $ȡa^d$-作用を用いる。
• 局所的に群の元による平行移動として作用するホメオモルフィズムの群として、位相的フル群を定義する。
• パッチの整合性とシリンダ集合を用いて、位相的フル群の導来部分群の有限生成集合を構成する。
• マツイらの結果を応用し、位相的フル群における導来部分群の単純性と有限生成性を扱う。
• ペニーローズタイルのパッチを三角形と平行四辺形に幾何的に分解し、基本領域と等面積であることを示す。
• 軌道同相を介して、ペニーローズタイルに関連する群 $π$ と $ȡa^2$-作用のカントール集合上での位相的フル群との同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カントール集合上での $ȡa^d$-作用の位相的フル群は、単純で有限生成で無限なアメーブル群の新しい例を生み出せるか？
• RQ2 カントール集合上での最小的 $ȡa^d$-作用の位相的フル群の導来部分群は有限生成で単純か？
• RQ3 ペニーローズタイルに関連する群の構造は何か？ そして、位相的フル群とどのように関係するか？
• RQ4 このような群の導来部分群は非自明なアメーブル群か？
• RQ5 タイルのパッチの幾何的分解を用いて、位相的フル群との群の同型を確立できるか？

主な発見

• カントール集合上での最小的で忠実な $ȡa^d$-作用に対して、位相的フル群 $[[ȡa^d]]$ の導来部分群は有限生成である。
• マツイの結果（論文に引用）により、$[[ȡa^d]]$ の導来部分群は単純である。
• ペニーローズタイルに関連する群 $π$ の導来部分群は単純で有限生成である。
• 群 $π$ は、複素平面内の格子 $P$ に対して、群 $P/\langle w_1, w_2 \rangle$ のカントール集合 $\mathcal{C}/\langle w_1, w_2 \rangle$ 上での作用の位相的フル群と同型である。
• 点付きペニーローズタイルの空間は、五角形 $V'$ の和集合とホメオモルフィックであり、群 $π$ は局所的平行移動によってそれらの上に作用する。
• 格子 $\langle w_1, w_2 \rangle$ の基本領域 $F$ は、五角形 $V''$ の和集合と等面積であり、これにより群が位相的フル群として構成可能である。