[論文レビュー] On topological groups containing a Fréchet-Urysohn fan

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2009

Advanced Topology and Set Theory被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、Fréchet-Urysohnファン（空間 V）を含む位相群について検討し、このような群が完全正規な逐次空間であるか、または正規 k 空間であるならば、すべての閉距離空間部分集合は局所コンパクトでなければならないことを証明する。主な結果として、非距離化可能な位相群が閉距離空間部分集合の帰納的極限である場合、その群は $k_{\omega}$-空間と離散空間の積と同相であり、これによりその位相的構造が特定され、特定の代数的埋め込みが排除される。

ABSTRACT

Suppose G is a topological group containing a (closed) topological copy of the Frechet-Urysohn fan. If G is a perfectly normal sequential space (a normal k-space) then every closed metrizable subset in $G$ is locally compact. Applying this result to topological groups whose underlying topological space can be written as a direct limit of a sequence of closed metrizable subsets, we get that every such a group either is metrizable or is homeomorphic to the product of a $k_ω$-space and a discrete space.

研究の動機と目的

• 空間が位相群や凸構造を支持できないための位相的条件を特定すること。
• 位相群が閉距離空間としてのFréchet-Urysohnファン（空間 V）を含むことの意味を分析すること。
• 閉距離空間部分集合の帰納的極限である位相群の構造を特徴づけること。
• このような群が距離化可能であるか、または $k_{\omega}$-空間と離散空間の積と同相であることを証明すること。
• 空間が両方のテスト空間 $K$ と $V$ を含むことは、位相群の閉乗法的部分集合であるか、線形位相空間内の閉凸集合である可能性を排除すること。

提案手法

• 2つのテスト空間を定義する：$K$（局所コンパクトでない距離空間）と $V$（Fréchet-Urysohnファン）、これらは代数的構造の障害となる。
• 空間 $V$ の帰納的極限位相を用いて、$l_2^\infty$ のような空間をモデル化する。これは、入れ子になった距離空間部分集合の帰納的極限として現れる。
• 群の乗法または凸結合を表す写像 $f: K \times V \to X$ を構成し、その連続性および閉埋め込みの性質を分析する。
• 空間 $X$ が $K$ と $V$ の両方を閉部分空間として含むならば、$Z = \{f(x_{n,m}, y_{n,k(n,m)})\}$ のような集合が $X$ で閉になることを証明する。これにより、$X$ が群構造や凸構造を支持するならば矛盾が生じる。
• $k$-空間性とコンパクト性の議論を用いて、$f(x_0, y_0)$ がそのような集合の閉包に属しないことを示し、連続性に反する。
• $\mathcal{M}_\omega$-空間の構造定理を適用して、このクラスに属する非距離化可能な群が $H \times D$ と同相であることを示す。ここで $H$ は $k_\omega$-空間、$D$ は離散空間である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような位相的条件下で、空間が位相群構造を支持できないか？
• RQ2 閉距離空間としてのFréchet-Urysohnファンと空間 $K$ を含む空間が、位相群の閉乗法的部分集合と同相になり得るか？
• RQ3 Fréchet-Urysohnファンの存在が、閉距離空間部分集合の帰納的極限である位相群にどのような構造的制約を課えるか？
• RQ4 位相群内での閉距離空間部分集合の列の帰納的極限が、距離化可能でない場合、常に $k_\omega$-空間と離散空間の積と同相になるか？
• RQ5 正規 $k$-空間に $V$ と $K$ を含む場合、その中のすべての閉距離空間部分集合は局所コンパクトでなければならないか？

主な発見

• 正規 $k$-空間が $K$ と $V$ の両方の閉コピーを含むならば、それはいかなる位相群の閉乗法的部分集合とも同相にはなり得ない。
• 正規 $k$-空間が $V$ の閉コピーを含むならば、その中にあるすべての閉距離空間部分集合は局所コンパクトでなければならない。
• $\mathcal{M}_\omega$-空間であり距離化可能でない位相群は、Fréchet-Urysohnファン $V$ の閉コピーを含み、すべての閉距離空間部分集合は局所コンパクトでなければならない。
• すべての非距離化可能な位相群で $\mathcal{M}_\omega$-空間であるものは、$k_\omega$-空間と離散空間の積と同相である。
• このような群の開分離的部分群 $H$ は $k_\omega$-空間であり、群全体は $H \times D$ の形に分解され、$D$ は離散空間である。これにより、群は局所 $k_\omega$ であることが示される。