[論文レビュー] On Topological Homotopy Groups of $n$-Hawaiian like spaces

Fateme Helen Ghane, Zainab Shehab Hamed+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、$n$-Hawaiian-like 空間に対して $n \geq 2$ のとき、位相的 $n$-ホモトピー群 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ が位相群であることを示す。自然な同型写像 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ が全単射であることを証明し、$n$-ループのコンパクト開位相からの商位相が、プロディスクリート距離位相と一致することを示す。これにより、距離化可能性および位相群構造が保証される。

ABSTRACT

By an $n$-Hawaiian like space $X$ we mean the natural inverse limit, $\displaystyle{\varprojlim (Y_i^{(n)},y_i^*)}$, where $(Y_i^{(n)},y_i^*)=\bigvee_{j\leq i}(X_j^{(n)},x_j^*)$ is the wedge of $X_j^{(n)}$'s in which $X_j^{(n)}$'s are $(n-1)$-connected, locally $(n-1)$-connected, $n$-semilocally simply connected and compact CW spaces. In this paper, first we show that the natural homomorphism $\displaystyle{β_n:π_n(X,*) ightarrow \varprojlim π_n(Y_i^{(n)},y_i^*)}$ is bijection. Second, using this fact we prove that the topological $n$-homotopy group of an $n$-Hawaiian like space, $π_n^{top}(X,x^*)$, is a topological group for all $n\geq 2$ which is a partial answer to the open question whether $π_n^{top}(X,x^*)$ is a topological group for any space $X$ and $n\geq 1$. Moreover, we show that $π_n^{top}(X,x^*)$ is metrizable.

研究の動機と目的

• すべての $n \geq 1$ および任意の空間 $X$ に対して $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ が位相群であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• $n$-Hawaiian-like 空間、すなわち局所的に $n$-連結でない空間のクラスに対して、$\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ が位相群であることを確立すること。
• このような空間の位相的 $n$-ホモトピー群が距離化可能であり、整合性のあるプロディスクリート距離位相を備えていることを示すこと。
• 自然な同型写像 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ が全単射であることを示し、位相的構造の移行を可能にすること。

提案手法

• $n$-Hawaiian-like 空間を、$Y_i^{(n)} = \bigvee_{j \leq i} X_j^{(n)}$ とし、各 $X_j^{(n)}$ が $(n-1)$-連結、局所的に $(n-1)$-連結、$n$-局所的に単連結であり、コンパクト CW 複体であるという条件を満たす逆極限 $X = \varprojlim (Y_i^{(n)}, y_i^*)$ として定義する。
• 高次のワエッジを基点に収縮させる射影 $R_j: X \to Y_j^{(n)}$ を用いて、自然な同型写像 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ を構成する。
• $\pi_n(X,*)$ に二つの位相を導入する：$\Omega^n(X,x^*)$ のコンパクト開位相からの商位相 $\tau^{\text{top}}$ と、$\beta_n$ を通じて引き戻されたプロディスクリート位相 $\tau^{\text{lim}}$。
• $\beta_n$ が $\pi_n^{\text{lim}}(X,*)$ と離散群の逆極限 $\varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ の間で同相写像であることを証明し、$\tau^{\text{lim}}$ が距離化可能であることを示す。
• 群位相の公理を満たす対称的近傍のフィルター基底を用いて、$\pi_n^{\text{lim}}(X,*)$ が位相群であることを示す。
• 可換図式と $\beta_n^{\text{top}}$ の連続性を用いて、$\tau^{\text{top}} = \tau^{\text{lim}}$ を確立し、$\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ が位相群であり、距離化可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$-Hawaiian-like 空間に対して $n \geq 2$ のとき、$\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ は位相群か？
• RQ2 自然な同型写像 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ は、位相的 $n$-ホモトピー群と離散群の逆極限との間で同相写像を誘導するか？
• RQ3 コンパクト開位相 $\Omega^n(X,x^*)$ から引き継がれる $\pi_n(X,*)$ 上の商位相が、$\beta_n$ を通じて引き戻されたプロディスクリート位相と一致することを示せるか？
• RQ4 $n$-Hawaiian-like 空間に対して $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ は距離化可能か？
• RQ5 $\mathcal{H}_n$ の $\pi_1^{\text{top}}$ における距離化不可能性の失敗が、高次 $n$-ホモトピー群にまで拡張されるか？

主な発見

• 自然な同型写像 $\beta_n: \pi_n(X,*) \to \varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ は、$n$-Hawaiian-like 空間に対して全単射である。
• $n \geq 2$ のすべての $n$ に対して、位相的 $n$-ホモトピー群 $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ は位相群である。
• $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ の位相は距離化可能であり、プロディスクリート距離位相と一致する。
• コンパクト開位相 $\Omega^n(X,x^*)$ からの商位相と、$\beta_n$ を通じて引き戻されたプロディスクリート位相は等価であり、一貫性が保証される。
• $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ は、離散因子を持つ $\varprojlim \pi_n(Y_i^{(n)}, y_i^*)$ と同相であるため、プロディスクリート距離空間である。
• 以前の研究におけるギャップを埋め、$n$-Hawaiian-like 空間に対して $\pi_n^{\text{top}}(X,x^*)$ の位相群構造が有効であることを示し、一般空間に対する未解決問題に対する部分的解決を提供する。