[論文レビュー] On topological properties of the formal power series substitution group

Ivan Babenko, S. Bogatyi|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2009

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、位相的環 k 上の形式的冪級数置換群 𝒥(k) の位相的性質を調査し、局所コンパクト群への埋め込みに注目する。𝒥(ℚ) は任意の局所コンパクト群への連続単射をもたないことが証明され、𝒥(ℤ) は連続単射が局所コンパクト群に存在しないが、コンパクト群への連続単射は存在する。主な貢献は、𝒥(ℚ) の非圧縮性と、𝒥(ℤ) の局所コンパクトな設定における非埋め込み性の確立であり、同時にエルドシュ空間を用いた1次元圧縮可能な群の構成も行われる。

ABSTRACT

Certain topological properties of the group $\J(\k)$ of all formal one-variable power series with coefficients in a topological unitary ring $\k$ are considered. We show, in particular, that in the case when $\k=\Q$ the group $\J(\Q)$ has no continuous bijections into a locally compact group. In the case when $\k=\Z$ supplied with discrete topology, in spite of the fact that the group $\J(\Z)$ has continuous bijections into compact groups, it cannot be embedded into a locally compact group. In the final part of the paper the compression property for topological groups is considered. We establish the compressibility of $\J(\Z)$.

研究の動機と目的

• 位相的環 k 上の形式的冪級数置換群 𝒥(k) の位相的構造を分析すること。
• 特に k = ℚ および k = ℤ の場合に、𝒥(k) が局所コンパクト位相群に連続的に埋め込めるかどうかを特定すること。
• 𝒥(k) がコンパクトまたは局所コンパクト群への連続単射をもつかどうかを調査すること。
• 特に 𝒥(k) の文脈において、『圧縮』という概念の定義と研究を行うこと。
• エルドシュ空間を基底環として用いた1次元、分離可能、距離化可能な圧縮可能な位相群の例を構成すること。

提案手法

• 𝒥(k) に、n 階のジェット写像の核であるフィルトレーション 𝒥ₙ(k) によって誘導される逆極限位相を導入し、単位元の近傍の基底を形成する。
• 逆極限構造を用いて、特に局所コンパクト性と残余有限性の位相的性質を分析する。
• 係数のスケーリングにより定義される連続群準同型（圧縮）Θₛ: 𝒥(k) → 𝒥(k) を構成する。ここで Θₛ(f)(x) = f(sx) と定義され、s ∈ k× である。
• ℚ に対して、ℝ における ℚ の稠密性と位相的剛性を用いて、局所コンパクト群への連続単射が存在しないことを証明する。
• 𝒥(ℤ) がコンパクト群（例えば 𝒥(ℤₚ)）への連続単射をもつが、いかなる局所コンパクト位相群に対しても埋め込めないことを示す。
• 1次元位相環 E（エルドシュ空間）を ℚ-代数として構成し、𝒥(E) が分離可能、距離化可能、圧縮可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 𝒥(ℚ) は、任意の局所コンパクト位相群に連続的に埋め込めるか？
• RQ2 群 𝒥(ℤ) は、残余有限かつ有限 p-群によって近似可能であるにもかかわらず、局所コンパクト群への連続群単射をもつか？
• RQ3 基底環 k にどのような条件を課すと、𝒥(k) が自身へ連続な圧縮（稠密な像をもつ自己準同型）をもつようになるか？
• RQ4 ある位相環 k に対して、𝒥(k) と同型な1次元、分離可能、距離化可能な位相群が存在するか？
• RQ5 k が ℚ を含む環である場合と、ℤ のような離散環である場合とで、𝒥(k) の位相的性質はどのように変化するか？

主な発見

• 群 𝒥(ℚ) は、ℚ にどのような位相を導入しても、任意の局所コンパクト群への連続単射をもたない。
• 群 𝒥(ℤ) は、コンパクト群（例えば 𝒥(ℤₚ)）への連続単射をもつが、いかなる局所コンパクト位相群に対しても埋め込めない。
• ℚ を含む任意の位相環 k に対して、群 𝒥(k) は局所コンパクト群への連続単射をもたない。
• 群 𝒥(ℤ) は残余有限であり、任意の素数 p に対して有限 p-群によって近似可能であり、これは 𝒥(ℤₚ) のようなコンパクト群への連続単射を意味する。
• 1次元、分離可能、距離化可能、圧縮可能な位相群として、E（エルドシュ空間）を特定の ℚ-代数構造を備えたものとして用いた 𝒥(E) が構成された。
• 𝒥(k) 上の圧縮自己準同型 Θₛ は、変数のスケーリング x ↦ sx により定義され、k = ℚ の場合、これにより関連するリー代数上に普遍的な圧縮 θₛ* が誘導される。ここで θₛ*(eₙ) = (1/s)e_{sn} である。