[論文レビュー] On total claim amount for marked Poisson cluster models

Bojan Basrak, Olivier Wintenberger+1 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2018

Probability and Risk Models参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、請求の到着にクラスタリングが見られ、マーカーが請求額および将来の到着レートに影響を与えるマーク付きポアソンクラスタモデルにおける総請求額の極限定理を確立する。請求額が正規変動を示す場合、正規分布に、重い尾を持つ場合に無限分散を持つ安定分布に、正規化された総請求額が分布収束することを証明する。

ABSTRACT

We study the asymptotic distribution of the total claim amount for marked Poisson cluster models. The marks determine the size and other characteristics of the individual claims and potentially influence arrival rate of the future claims. We find sufficient conditions under which the total claim amount satisfies the central limit theorem or alternatively tends in distribution to an infinite variance stable random variable. We discuss several Poisson cluster models in detail, paying special attention to the marked Hawkes processes as our key example.

研究の動機と目的

• クラスタリング効果を含む古典的なCramér–Lundbergモデルを拡張し、マーク付きポアソンクラスタ過程における総請求額の漸近的分布を研究すること。
• 総請求額が中心極限定理を満たすか、無限分散を持つ安定分布に収束する条件を特定すること。
• マーカーと請求到着時刻の間の従属関係が、総請求額の極限的挙動に与える影響を分析すること。
• このようなクラスタモデルの主要な例としてのマーク付きハーケス過程の詳細な分析を提供すること。
• 独立な再生過程に従属する正規変動する i.i.d. 確率変数の和に関する関数極限定理を確立し、請求額プロセスに適用可能である。

提案手法

• 請求の到着を [0,∞) × S 上のマーク付きポアソン点過程としてモデル化し、S におけるマーカーが請求額を決定するとともに、将来の到着に影響を与える。
• 総請求額 S(t) を、[0,t] × S 上の点過程 N における請求額関数 f(a) の積分として定義する。
• 各初期点 Γi が独立なクラスタ過程 G^Ai を生成するクラスタ構造を定義し、分布 K(Ai, ⋅) に従う。これにより、マーカーがクラスタ強度に影響を与える。
• 独立な再生過程に従属する i.i.d. 正規変動確率変数の和に関する関数極限定理を適用し、S(t) の漸近的挙動を導出する。
• 正規変動理論およびタウバリアン定理を用いて、重い尾を持つ請求額分布の下での総請求額の尾の挙動を特徴付ける。
• 結果をマーク付きハーケス過程に適用し、請求額の尾が指数 ∈ (0,2) の正規変動を示す場合、安定分布への収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーク付きポアソンクラスタモデルにおける総請求額が中心極限定理を満たす条件は何か？
• RQ2 請求額が無限分散を持つのはいつか？ また、正規化された総請求額の極限分布は何か？
• RQ3 マーカーと到着時刻の間の従属関係が、総請求額の漸近的挙動に与える影響は何か？
• RQ4 正規変動する請求額を持つマーク付きハーケス過程における、総請求額の正確な漸近的分布は何か？
• RQ5 従属和に関する関数極限定理を、クラスタモデルにおける総請求額の極限定理を導出するために適用可能か？

主な発見

• 請求額の分散が有限で、2次モーメント条件を満たす場合、正規化された総請求額 S(t) は分布収束して正規（ガウス）確率変数に収束する。
• 請求額が尾指数 α ∈ (0,1) の正規変動を示す場合、正規化された総請求額 S(t)/a_⌊νt⌋ は分布収束して、厳密に安定な α-安定確率変数 Gα に収束する。
• α ∈ (1,2) の場合、中心化された総請求額 (S(t) − tνμD)/a_⌊νt⌋ は、遅延請求の期待数が十分に速く減少する限り、分布収束して厳密に安定な α-安定確率変数 Gα に収束する。
• 安定分布への収束は、クラスタサイズ分布の尾の挙動および時刻 t 以降に到着する請求の期待数の減少率を含むモーメント条件のもとで成立する。
• 結果は、マーク付きハーケス過程の定常版に拡張され、同一の条件下で同じ極限挙動が確認された。
• 本稿は、不完全請求による誤差項 εt が、クラスタサイズ分布の尾の記述された減少条件下で漸近的に無視可能（oP(at)）であることを確立した。