[論文レビュー] On total dominating sets in graphs

Maryam Atapour, Nasrin Soltankhah|ArXiv.org|Oct 26, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、全ドミネーション数 $ olimits\gamma_t(G) \leq n - \Delta(G) + 1$ の上界に達する二部グラフおよび木を特徴づけ、そのようなグラフが星 $K_{1,t}$ と $r$ 個の $K_2$ の素性の和であることを証明している。また、$ olimits\gamma_t(G)$ に対する新たな上界および下界を確立し、円型完全グラフ $K_{n,d}$ の正確な全ドミネーション数を決定しており、$n \geq 4d-2$ のとき $ olimits\gamma_t(K_{n,d}) = 2$ であり、$3d \leq n \leq 4d-3$ のとき $ olimits\gamma_t(K_{n,d}) = 3$ であることを示している。これらの結果は既知の境界を精緻化し、密度の高いグラフのクラスに対して正確な値を提供する。

ABSTRACT

A set $S$ of vertices in a graph $G(V,E)$ is called a dominating set if every vertex $v\in V$ is either an element of $S$ or is adjacent to an element of $S$. A set $S$ of vertices in a graph $G(V,E)$ is called a total dominating set if every vertex $v\in V$ is adjacent to an element of $S$. The domination number of a graph $G$ denoted by $γ(G)$ is the minimum cardinality of a dominating set in $G$. Respectively the total domination number of a graph $G$ denoted by $γ_t(G)$ is the minimum cardinality of a total dominating set in $G$. An upper bound for $γ_t(G)$ which has been achieved by Cockayne and et al. in $\cite{coc}$ is: for any graph $G$ with no isolated vertex and maximum degree $Δ(G)$ and $n$ vertices, $γ_t(G)\leq n-Δ(G)+1$. Here we characterize bipartite graphs and trees which achieve this upper bound. Further we present some another upper and lower bounds for $γ_t(G)$. Also, for circular complete graphs, we determine the value of $γ_t(G)$.

研究の動機と目的

• 全ドミネーション数に関する上界 $\gamma_t(G) \leq n - \Delta(G) + 1$ を満たすすべての二部グラフおよび木を特徴づけること。
• 一般のグラフにおける $\gamma_t(G)$ に対する新たな上界および下界を確立すること。
• 円型完全グラフ $K_{n,d}$ の全ドミネーション数の正確な値を特定すること。

提案手法

• 全ドミネーティング集合の次数制約を用いて $\gamma_t(G) \geq \lceil n / \Delta(G) \rceil$ を証明した。
• 直径および閉路長の条件を用いて境界を導出：直径 2 のグラフでは $\gamma_t(G) \leq \delta(G) + 1$、閉路長 $\geq 5$ のグラフでは $\gamma_t(G) \leq n - \lceil g(G)/2 \rceil + 1$ が成り立つ。
• 分割 $A$ と $B$ を持つ二部グラフに対する構造的解析を実施し、次数および近傍関係に注目することで、上界に達するための必要条件を導出した。
• 背理法および構成的手法を用いて、二部グラフにおいては上界に達するグラフは $K_{1,t} \cup rK_2$ の形式に限ることを示した。
• 円型完全グラフ $K_{n,d}$ に対して明示的な全ドミネーティング集合を構成し、$n \geq 4d-2$ のとき $ olimits\gamma_t = 2$、$3d \leq n \leq 4d-3$ のとき $ olimits\gamma_t = 3$ を証明した。
• 極値例（$K_n$、$C_{4n}$、$P_{4n}$、$C_5$）を用いて境界の鋭さを検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの二部グラフが $\gamma_t(G) = n - \Delta(G) + 1$ を満たすか？
• RQ2 どの木が $\gamma_t(T) = n - \Delta(T) + 1$ を満たすか？
• RQ3 $n$、$\Delta(G)$、$\delta(G)$、および閉路長を用いた $\gamma_t(G)$ のタイトな上界および下界は何か？
• RQ4 円型完全グラフ $K_{n,d}$ の正確な $\gamma_t(K_{n,d})$ 値は何か？
• RQ5 どの $n$ と $d$ に対して $\gamma_t(K_{n,d}) = 2$ または $3$ となるか？

主な発見

• 全ドミネーション数 $\gamma_t(G) = n - \Delta(G) + 1$ を満たす唯一の二部グラフは、$r \geq 0$ に対して $K_{1,t} \cup rK_2$ の形をとるものであり、$t = \Delta(G)$ である。
• 全ドミネーション数 $\gamma_t(T) = n - \Delta(T) + 1$ を満たす唯一の木は星であり、すなわち $T = K_{1,n-1}$ である。
• 任意の連結グラフ $G$ に対して $\gamma_t(G) \geq \lceil n / \Delta(G) \rceil$ が成り立ち、この境界は $K_n$、$C_{4n}$、$P_{4n}$ で鋭い。
• 直径 $\text{diam}(G) = 2$ の場合、$\gamma_t(G) \leq \delta(G) + 1$ が成り立ち、$C_5$ では $\gamma_t(C_5) = 3 = \delta(C_5) + 1$ であり、この境界はタイトである。
• 閉路長 $g(G) \geq 5$ かつ $\delta(G) \geq 2$ を満たす連結グラフに対して $\gamma_t(G) \leq n - \lceil g(G)/2 \rceil + 1$ が成り立ち、特定の構造的条件下で等号が成立する可能性がある。
• $d \geq 3$ の円型完全グラフ $K_{n,d}$ に対して、$n \geq 4d - 2$ のとき $\gamma_t(K_{n,d}) = 2$ であり、$3d \leq n \leq 4d - 3$ のとき $\gamma_t(K_{n,d}) = 3$ である。