[論文レビュー] On total flexibility of local structures of Finsler tori without conjugate points

Dong Chen|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2次元多様体上の任意の局所的フィン슬構造が、共役点のないフィン슬トーラスに等長埋め込み可能であることを確立しており、このような埋め込みに局所的障害がないことを示している。主な手法は、バスマン型関数から摂動を加えた包絡関数を構築することであり、これによりフィン슬計量が回復され、得られるトーラス計量が滑らかで共役点をもたないことが保証される。元の計量が対称な場合、この性質も保存される。

ABSTRACT

We show that given a point on a Finsler surface, one can always find a neighborhood of the point and isometrically embed this neighborhood into a Finsler torus without conjugate points.

研究の動機と目的

• 表面における局所的フィン슬構造が、共役点のないグローバルに定義されたフィン슬トーラスに埋め込めるかどうかを調査すること。
• リーマン幾何における剛体な状況とは対照的に、フィン슬設定において、このような埋め込みを構成する際に内在的な局所的障害が存在するかどうかを特定すること。
• バスマン関数の概念を、より一般化された、放射線に依存しない包絡関数フレームワークに拡張し、フィン슬計量を捉えること。
• 共役点の不在が、非対称な場合を含め、フィン슬計量に局所的制限を課さないことを示すこと。
• 元のフィン슬構造が対称な場合、埋め込みにおいてその対称性を保てるようにすること。

提案手法

• 基点を通る測地線に関する距離関数を用いて、$ \partial D_\epsilon \times D_\epsilon $ 上に $ C^k $-滑らかな包絡関数 $ F $ を定義する。
• 平面 $ \mathbb{R}^2 $ 上の定数フィン슬計量 $ \varphi_0 $ に対して、参照包絡関数 $ F^0 $ を構築し、摂動のモデルとする。
• 分区関数を用いて $ F^0 $ を $ \partial D_\epsilon \times \mathbb{R}^2 $ 上の新しい関数 $ \tilde{F} $ に摂動し、$ \tilde{F} $ が $ C^k $-小な摂動であることを保証する。
• 補題1を用いて、$ \tilde{F} $ が $ \mathbb{R}^2 $ 上の $ C^k $-フィン슬計量 $ \tilde{\varphi} $ の包絡関数であることを示し、$ \tilde{\varphi} $ が $ D_\epsilon $ 上で元の計量 $ \varphi $ と一致し、より大きな円盤の外では $ \varphi_0 $ と一致することを保証する。
• 元の計量が対称な場合、反対称性条件 $ F(p,x) = -F(-p,x) $ を用いて $ \tilde{F} $ の対称版を構築し、対称距離関数 $ \tilde{d}(x,y) = \max_p \tilde{F}(p,x) - \tilde{F}(p,y) $ を定義する。
• 補題2により、$ \tilde{d} $ の方向微分としてフィン슬計量 $ \tilde{\varphi}(x,v) $ を定義し、$ \tilde{\varphi} $ が $ C^k $ かつ共役点をもたないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ C^k $-フィン슬表面計量（$ k \geq 3 $）は、共役点のないフィン슬トーラスに等長埋め込み可能か？
• RQ2 共役点のないフィン슬トーラスにおいて、可能なフィン슬計量に局所的制限が課されるか？
• RQ3 このような埋め込みの構成において、元のフィン슬計量の対称性を保てるか？
• RQ4 特定の測地線放射に依存しない、フィン슬計量のグローバル再構成を可能にするバスマン関数の一般化は存在するか？
• RQ5 共役点のないフィン슬トーラスの測地線フローは、平坦なフィン슬トーラスの測地線フローと滑らかに共役可能か？

主な発見

• 任意の $ C^k $-フィン슬表面計量（$ k \geq 3 $）は、共役点のない $ C^k $-フィン슬トーラスに局所的等長埋め込み可能である。
• 構成法は、定数フィン슬計量に関連する参照包絡関数を摂動することに依存しており、これにより得られる計量は $ C^k $-滑らかで共役点をもたない。
• 得られるフィン슬トーラス計量 $ \tilde{\varphi} $ は、点 $ p_0 $ の近傍で元の計量 $ \varphi $ と一致し、局所幾何を保存する。
• 元のフィン슬構造が対称な場合、構築された埋め込みは対称性を保てるため、$ \tilde{\varphi} $ も対称となる。
• この方法により、得られるトーラス内のすべての測地線が最小化的であることが保証され、補題2により共役点の不在が示される。
• 包絡関数フレームワークにより、放射線に依存しないフィン슬計量の再構成が可能となり、バスマン関数の役割が一般化される。