[論文レビュー] ON TOTALLY PERIODIC !-LIMIT SETS

Habib Marzougui, Issam Naghmouchi|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな距離空間における連続自己写像のもとで、完全周期的ω極限集合の有限性を検討する。ゼロ次元のコンパクトな距離空間および特定の1次元連続体（特に、完全正則であるヒエラルヒカルに局所連結な空間）は、すべての完全周期的ω極限集合が有限であるというω-FTP性質（ω-FTP性質）を示すが、自由なn-球（n ≥ 2）を含む高次元空間ではそうではない。

ABSTRACT

An !-limit set of a continuous self-mapping of a com- pact metric space X is said to be totally periodic if all of its points are periodic. We say that X has the !-FTP property provided that for each continuous self-mapping f of X, every totally periodic !- limit set is finite. Firstly, we show that connected components of every totally periodic !-limit set are finite. Secondly, we show in one hand, that a zero-dimensional compact metric space has the !-FTP property, and in the other hand, for the wide class of one- dimensional continua, we prove that a hereditary locally connected X has the !-FTP property if and only if X is completely regular. This holds in particular for X being a local dendrite with discrete set of branch points, and in particular, for a graph. For higher di- mension, we show that any compact metric space X containing a free topological n-ball (n ≥ 2) does not admit the !-FTP property. This holds in particular, for any topological compact manifold of dimension greater than 1.

研究の動機と目的

• すべての完全周期的ω極限集合が有限であるようなコンパクトな距離空間を特徴づけること、ω-FTP性質を導入すること。
• 周期点のみからなるω極限集合が有限であるための位相的条件を特定すること。
• ゼロ次元、1次元、および高次元空間の間でω-FTP性質の違いを明確にすること。
• ヒエラルヒカルに局所連結な1次元連続体におけるω-FTP性質の必要十分条件を同定すること。
• 自由なn-球や局所的デンドライトなどの位相的構造が、ω-FTP性質の成立を妨げる役割を明らかにすること。

提案手法

• 完全周期的ω極限集合の構造を、その連結成分を分析することで検討する。
• 位相的分類を用いて、完全周期的ω極限集合の連結成分が常に有限であることを示す。
• ゼロ次元空間の理論を応用し、このような空間においてω-FTP性質が成立することを証明する。
• 完全正則性を用いて、ヒエラルヒカルに局所連結な1次元連続体の特徴づけを確立する。
• 自由な位相的n-球（n ≥ 2）を用いた反例を構成し、高次元空間におけるω-FTP性質の不成立を示す。
• 結果を、分岐点が離散的な局所的デンドライトや有限グラフなどの特定のクラスに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな距離空間において、すべての完全周期的ω極限集合が有限であるための条件は何か？
• RQ2 1次元連続体のどのような位相的性質がω-FTP性質を保証するか？
• RQ3 自由な位相的n-球（n ≥ 2）が存在することにより、空間がω-FTP性質を有しなくなる理由は何か？
• RQ4 1次元連続体において、ヒエラルヒカルに局所連結性が保たれる場合、ω-FTP性質は保存されるか？
• RQ5 ゼロ次元空間の性質と、1より大きい次元の多様体の性質は、ω-FTPに関してどのように比較できるか？

主な発見

• 任意のコンパクトな距離空間における完全周期的ω極限集合の連結成分は、常に有限である。
• すべてのゼロ次元のコンパクトな距離空間は、ω-FTP性質を満たす。
• ヒエラルヒカルに局所連結な1次元連続体において、ω-FTP性質が成り立つのは、その空間が完全正則である場合に限る。
• 任意の自由な位相的n-球（n ≥ 2）を含むコンパクトな距離空間では、ω-FTP性質は成立しない。
• これは、次元が1より大きいすべての位相的コンパクト多様体が、ω-FTP性質を有さないことを意味する。
• 特に、分岐点が離散的な局所的デンドライトや有限グラフに対しても、上記の正則性条件が満たされれば、ω-FTP性質が成立する。