[論文レビュー] On transformation operators and Riesz basis property of root vectors system for $n imes n$ Dirac type operators. Application to the Timoshenko beam model

Anton A. Lunyov, M. M. Malamud|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般境界条件を満たすn×nディラック型系に対して、三角型変換作用素の存在を確立し、厳密正則な境界条件のもとで、固有ベクトル系が重み付きL²空間においてリース基底をなすことを証明する。主な貢献は、摂動された系の固有値が元の系の固有値に収束することを示すスペクトル漸近公式であり、これは変数係数設定においても成り立つ。この結果は、ダンプドティモシェンコ梁モデルへの応用にも拡張され、明示的な漸近的性質とリース基底性が得られる。

ABSTRACT

The paper is concerned with the following $n imes n$ Dirac type equation$$Ly=-iB(x)^{-1}(y'+Q(x)y)=λy, \quad B(x)=B(x)^*,\quad y={ m col}(y_1,\ldots,y_n),\quad x\in[0,\ell],$$ on a finite interval $[0,\ell]$. Here $Q$ is a summable potential $n imes n$ matrix function and $B$ is an invertible self-adjoint diagonal bounded matrix function. If $n=2m$ and $B(x)={ m diag}(-I_m,I_m)$, this equation is equivalent to Dirac equation of order $n$. We show the existence of triangular transformation operators for such equation under additional uniform separation conditions on the entries of the matrix function $B$. Here we apply this result to study direct spectral properties of the boundary value problem (BVP) associated with the above equation subject to the general boundary conditions $U(y)=Cy(0)+Dy(\ell)=0,{ m rank}(C\ D)=n$. We apply this result to show that the deviation of the characteristic determinants of this BVP and the unperturbed BVP (with $Q=0$) is a Fourier transform of some summable function, which in turn yields asymptotic behavior of the spectrum in the case of regular boundary conditions. Namely, $λ_m=λ_m^0+o(1)$ as $m o\infty$, where $\{λ_m\}_{m\in\mathbb{Z}}$ and $\{λ_m^0\}_{m\in\mathbb{Z}}$ are sequences of eigenvalues of perturbed and unperturbed ($Q=0$) BVP, respectively. Further, we prove that the system of root vectors of the above BVP constitutes a Riesz basis in a certain weighted $L^2$-space, provided that the boundary conditions are strictly regular. The main results are applied to establish asymptotic behavior of eigenvalues and eigenvectors, and the Riesz basis property for the dynamic generator of the Timoshenko beam model. We also found a new case when eigenvalues have an explicit asymptotic, which to the best of our knowledge is new even in the case of constant parameters of the model.

研究の動機と目的

• 重み行列Bの成分に一様な分離条件が課された状況下で、n×nディラック型系に対して三角型変換作用素の存在を確立すること。
• 一般境界条件の下で、ディラック型系に関連する境界値問題（BVP）のスペクトル的性質を分析すること。
• 境界条件が厳密正則である場合、固有ベクトル系が重み付きL²空間においてリース基底をなすことの証明。
• 空間的に非一様なダンプドティモシェンコ梁モデルの動的生成作用素に結果を応用し、固有値の漸近的性質とリース基底性を導出すること。
• 定数係数の場合でさえ、既存の文献において同定されていなかった、明示的な漸近的固有値を有する新しいケースを特定すること。

提案手法

• 重み行列Bの対角成分に一様な分離条件が課された状況下で、ディラック型系に対する三角型変換作用素を導出する。
• 変換作用素を用いて、特性行列式が元の系からどれほど逸脱しているかを、核関数から導かれる関数のフーリエ変換として表現する。
• 特性行列式の表現を用いて固有値の漸近的挙動を確立し、m → ∞ のとき λₘ = λₘ⁰ + o(1) が成り立つことを示す。
• スペクトル解析技法を用いて、固有ベクトルの完全性、一様最小性、および漸近的挙動を証明する。
• ティモシェンコ梁モデルをディラック型系に還元し、そのスペクトル的性質を分析することで、結果を応用する。
• 一般条件下で固有ベクトル系がリース基底性（括弧付き）を満たすことを示し、特殊な場合に明示的な漸近公式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般境界条件を満たすn×nディラック型作用素の固有ベクトル系が、重み付きL²空間においてリース基底をなすための条件は何か？
• RQ2 摂動されたディラック型系のスペクトルはどのように漸近的に振る舞い、摂動された系と元の系の固有値の間には明確な関係が成立するか？
• RQ3 変換作用素法を用いて、変数係数を有するティモシェンコ梁モデルにおける固有値および固有関数の明示的漸近公式を導出可能か？
• RQ4 ティモシェンコ梁作用素の固有値が漸近的に単純かつ分離されていることを保証する条件は何か？また、どのような場合に明示的な漸近的表現が得られるか？
• RQ5 ティモシェンコ梁作用素の固有ベクトル系が括弧付きでリース基底をなすのはどのような場合か？また、これは既存の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• 境界値問題の特性行列式は、変換作用素の核から明示的に構成された関数のフーリエ変換によって、元の系の特性行列式からずれる。
• 摂動された系の固有値は、m → ∞ のとき λₘ = λₘ⁰ + o(1) を満たす。ここで λₘ⁰ は元の系（Q = 0）の固有値である。
• 境界条件が厳密正則である場合、固有ベクトル系は重み付きL²空間においてリース基底をなす。
• ティモシェンコ梁モデルに関しては、一般条件下で固有ベクトル系が括弧付きでリース基底をなすとともに、以前に同定されていなかった新しいケースにおいて固有値に明示的な漸近公式が得られる。
• 本稿では、定数係数の場合でさえ、既存の文献において同定されていなかった、明示的な漸近的固有値を有する新しいケースを特定した。これは著者らの知る限り、新規性を有する。
• 本稿の結果は、変数係数およびより広範な境界条件のもとでのリース基底性と完全性に関する、従来の文献の主張を一般化・是正するものである。