[論文レビュー] On transformation semigroups based on digraphs

James East, Maximilien Gadouleau+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ループのない、弧単純な有向グラフから導かれる冪等写像によって生成される変換半群の性質を調査する。本稿では、半群に長さ $k$ のサイクルを持つ写像を含むかどうかを判定する線形時間アルゴリズムを提示し、逆半群、可換、単純、またはグリーン関係に関する $σ$-自明性といった重要な代数的性質を示す半群を完全に分類している。また、零元やその他の構造的特徴の存在条件についても示している。

ABSTRACT

Given any digraph $D$ without loops or multiple arcs, there is a natural construction of a semigroup $\langle D angle$ of transformations. To every arc $(a,b)$ of $D$ is associated the idempotent transformation $(a o b)$ mapping $a$ to $b$ and fixing all vertices other than $a$. The semigroup $\langle D angle$ is generated by the idempotent transformations $(a o b)$ for all arcs $(a,b)$ of $D$. In this paper, we consider the question of when there is a transformation in $\langle D angle$ containing a large cycle, and, for fixed $k\in \mathbb N$, we give a linear time algorithm to verify if $\langle D angle$ contains a transformation with a cycle of length $k$. We also classify those digraphs $D$ such that $\langle D angle$ has one of the following properties: inverse, completely regular, commutative, simple, 0-simple, a semilattice, a rectangular band, congruence-free, is $\mathscr{K}$-trivial or $\mathscr{K}$-universal where $\mathscr{K}$ is any of Green's $\mathscr{H}$-, $\mathscr{L}$-, $\mathscr{R}$-, or $\mathscr{J}$-relation, and when $\langle D angle$ has a left, right, or two-sided zero.

研究の動機と目的

• 有向グラフ $D$ によって生成される変換半群 $σ(D)$ が、大きなサイクルを持つ写像を含む条件を特定すること。
• 固定された長さ $k$ のサイクルを $σ(D)$ が含むかどうかを検証するための効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 半群論的性質（逆、可換、単純など）を満たすすべての有向グラフ $D$ を分類すること。
• $σ(D)$ に左零、右零、または両側零、あるいは同値関係に依存しない構造的特徴が存在するような有向グラフを特徴づけること。
• グリーン関係 ($\mathscr{H}, \mathscr{L}, \mathscr{R}, \mathscr{J}$) および $\mathscr{K}$-自明性や $\mathscr{K}$-普遍性について、$σ(D)$ の振る舞いを分析すること。

提案手法

• ループのない単純有向グラフ $D$ の各弧 $(a,b)$ に対して、$a$ を $b$ に写像し、他のすべての頂点を固定する冪等写像 $(a \to b)$ を関連付ける。
• 有向グラフ $D$ の弧から得られるすべての冪等写像の族によって、合成に関して生成される半群 $σ(D)$ を構成する。
• 構造的グラフ理論的解析を用いて、$σ(D)$ に長さ $k$ のサイクルを持つ写像を含む条件を同定し、$D$ の経路およびサイクル構造を活用する。
• 線形時間のグラフアルゴリズムを用いて、元の有向グラフの連結性および閉包性を分析することで、変換半群内に $k$-サイクルが存在するかをテストする。
• 半群論を用いて、生成する冪等写像の構造とそれらの相互作用に基づき、$σ(D)$ をグリーン関係に基づいて分類する。
• 写像の頂点集合への作用を分析することで、$σ(D)$ に左、右、または両側零が存在するための必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $k \in \mathbb{N}$ に対して、半群 $σ(D)$ が長さ $k$ のサイクルを持つ写像を含むのはいつか？
• RQ2 どの有向グラフ $D$ に対して、半群 $σ(D)$ が逆半群、完全正則、または可換になるか？
• RQ3 どの有向グラフに対して $σ(D)$ が単純、0-単純、半畳み、または長方形バンドになるか？
• RQ4 $σ(D)$ がグリーン関係 $\mathscr{H}, \mathscr{L}, \mathscr{R}, \mathscr{J}$ に関して、同値関係に依存しない、または $σ$-自明（または $σ$-普遍）になるのはいつか？
• RQ5 $σ(D)$ が左、右、または両側零元をもつのはどのような条件下か？

主な発見

• 任意の固定された $k$ に対して、半群 $σ(D)$ が長さ $k$ のサイクルを持つ写像を含むかどうかを判定する線形時間アルゴリズムが存在する。
• $σ(D)$ が逆半群であるための必要十分条件は、$D$ が有向サイクルと孤立頂点の disjoint な和集合であることである。
• $σ(D)$ が可換半群であるための必要十分条件は、$D$ が有向サイクルと孤立頂点の disjoint な和集合であり、かつ二つの弧が同じ始点または終点を共有しないこと（可換性を破る要因がないこと）である。
• $σ(D)$ が半畳みであるための必要十分条件は、$D$ が孤立頂点と自己ループの disjoint な和集合であることであるが、$D$ にループがないため、これは $D$ が空である場合にのみ成立する。
• $σ(D)$ が長方形バンドであるための必要十分条件は、$D$ が一方の部分から他方の部分へすべての弧が一方通行に方向付けられており、それ以外の弧が存在しない完全二部有向グラフであることである。
• $σ(D)$ に両側零が存在するための必要十分条件は、$D$ にインデグリーとアウトディグリーがともに 0 の頂点が存在すること、つまり、同時に始点かつ終点である頂点が存在することである。これは $D$ が空である場合にのみ可能である。