[論文レビュー] On Transitory Queueing

Harsha Honnappa, Rahul Jain+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2014

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 51被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非定常的・有限時間・有限集団のキューイングシステムを分析するための新規フレームワークを提示する。これは、流体限界と拡散限界を一般化する人口加速（PA）技術を用いる。3つの異なるモデル（$Δ_{(i)}/GI/1$、条件付き$G/GI/1$、エポック不確実性を伴うスケジュール済みトラフィック）がPA下で漸近的に分布的に同等であることが示され、流体限界はスコロホド反射として、拡散限界はその反射写像の方向微分として生じる。

ABSTRACT

We introduce a framework and develop a theory of transitory queueing models. These are models that are not only non-stationary and time-varying but also have other features such as the queueing system operates over finite time, or only a finite population arrives. Such models are relevant in many real-world settings, from queues at post-offces, DMV, concert halls and stadia to out-patient departments at hospitals. We develop fluid and diffusion limits for a large class of transitory queueing models. We then introduce three specific models that fit within this framework, namely, the Delta(i)/GI/1 model, the conditioned G/GI/1 model, and an arrival model of scheduled traffic with epoch uncertainty. We show that asymptotically these models are distributionally equivalent, i.e., they have the same fluid and diffusion limits. We note that our framework provides the first ever way of analyzing the standard G/GI/1 model when we condition on the number of arrivals. In obtaining these results, we provide generalizations and extensions of the Glivenko-Cantelli and Donskers Theorem for empirical processes with triangular arrays. Our analysis uses the population acceleration technique that we introduce and develop. This may be useful in analysis of other non-stationary and non-ergodic queuing models.

研究の動機と目的

• 非定常的かつ非エルゴード的で、有限時間内または有限集団で動作するキューイングシステムを分析する理論的枠組みを構築すること。
• 非マコフ的かつ一時的状況において、均一加速法や点単位定常近似といった古典的手法の限界を克服すること。
• 経験過程の解析に向け、三角配列に対するグリヴェンコ＝カンテリおよびドンスカーの定理の一般化を提供すること。
• 到着およびサービスプロセスに弱い仮定を置いた場合でも、広範な一時的キューイングモデルクラスに対して流体限界および拡散限界を確立すること。
• 提案されたフレームワーク下で、3つの異なる一時的モデルが漸近的に分布的に同等であることを示すこと。

提案手法

• 時間軸のスケーリングなしに固定時間内でのユーザー数をスケーリングする人口加速（PA）技術を導入し、漸近的解析を可能にする。
• 関数的弱大数法則（fSLLN）および関数的中心極限定理（fCLT）を適用して、キュー長プロセスの流体限界および拡散限界を導出する。
• ネットプットプロセスのスコロホド反射を用いて流体限界を特徴づけ、過負荷・未負荷・臨界負荷の各状態で時間依存の挙動を許容する。
• 拡散限界を、スコロホド反射写像の拡散ネットプットプロセス方向における方向微分として導出する。
• 非i.i.d.かつ時間変動する状況での経験過程の解析に適応するため、三角配列に対するグリヴェンコ＝カンテリおよびドンスカーの定理を一般化する。
• $M_1$位相を用いて弱収束下でのプロセス収束を解析し、極限定理のロバスト性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常的かつ非エルゴード的で、有限時間内または有限集団で動作する一時的キューイングシステムを分析する一般枠組みを構築できるか？
• RQ2 古典的エルゴード性仮定が成り立たない一時的システムにおいて、流体限界および拡散限界はどのように振る舞うか？
• RQ3 $\Delta_{(i)}/GI/1$、条件付き$G/GI/1$、エポック不確実性を伴うスケジュール済みトラフィックといった異なる一時的キューイングモデルは、漸近的に分布的に同等か？
• RQ4 標準的な$G/GI/1$モデルは、到着数の条件付き分布の下で意味的に分析可能か、もしそうならどのように可能か？
• RQ5 一時的システムに由来する三角配列における経験過程の解析に適した、古典的極限定理（グリヴェンコ＝カンテリ、ドンスカー）の拡張は何か？

主な発見

• キュー長プロセスの流体限界は、ネットプットプロセスの流体限界のスコロホド反射であり、時間依存的で過負荷・未負荷・臨界負荷の各状態を遷移する。
• キュー長プロセスの拡散限界は、スコロホド反射写像を拡散ネットプットプロセス方向に方向微分したものであり、正確な漸近的近似を提供する。
• $\Delta_{(i)}/GI/1$、条件付き$G/GI/1$、エポック不確実性を伴うスケジュール済みトラフィックの3モデルは、PAフレームワーク下で漸近的に分布的に同等であり、同一の流体限界および拡散限界を共有する。
• 本フレームワークは、到着数の条件付き分布の下で標準$G/GI/1$モデルを分析するための初の手法を提供し、キューイング理論における長年の欠落を解消する。
• 三角配列に対する一般化されたグリヴェンコ＝カンテリおよびドンスカーの定理が確立され、非i.i.d.かつ時間変動する状況での経験過程の収束解析を可能にする。
• インデックス$j_n^*$および$j_n^{**}$の極限による議論により、人口スケーリング状態における到着分布の台を特徴付けるものとして、流体限界の一様収束が証明される。