[論文レビュー] On triangles in K_r-minor free graphs

Boris Albar, Daniel Gonçalves|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$K_r$-minor を含まないグラフにおける辺ごとの三角形数を分析することで、完全グラフを minor として含むための十分条件を確立する。具体的には、次数が $2r-5$ 以下の頂点に接する辺がすべて、高々 $r-3$ 個の三角形に属するならば、そのグラフは $K_r$-minor を含むことを証明する。これは Nevo が提唱した $K_7$-minor を含まないグラフに関する予想を解決し、$K_8$-minor を含まないグラフに対しても構造的結果を拡張する。また、グラフの彩色可能性および応力自由性への応用も示す。

ABSTRACT

We study graphs where each edge adjacent to a vertex of small degree (7 and 9, respectively) belongs to many triangles (4 and 5, respectively) and show that these graphs contain a complete graph (K_6 and K_7, respectively) as a minor. The second case settles a problem of Nevo (Nevo, 2007). Morevover if each edge of a graph belongs to 6 triangles then the graph contains a K_8-minor or contains K_{2,2,2,2,2} as an induced subgraph. We then show applications of these structural properties to stress freeness and coloration of graphs. In particular, motivated by Hadwiger's conjecture, we prove that every K_7-minor free graph is 8-colorable and every K_8-minor free graph is 10-colorable.

研究の動機と目的

• Nevo が提唱した予想、すなわちすべての $K_7$-minor を含まないグラフは、高々 4 個の三角形に属する低次の頂点に接する辺を含むことの解決。
• $r=7$ を超える $K_r$-minor を含まないグラフにおける三角形密度に関する構造的結果の拡張、特に $r=8$ の場合で、$K_{2,2,2,2,2}$ の存在により標準的な三角形の上限が失敗するための対応。
• グローバルな三角形-辺比と誘導部分グラフの除外に基づいた、$K_k$-minor 含有の新しい十分条件の確立。
• 構造的発見を、特に Hadwiger の予想と二重臨界グラフに関連して、グラフの彩色可能性および応力自由性の問題に応用すること。

提案手法

• Mader の定理を用いて $K_r$-minor を含まないグラフにおける辺の上限を導出し、そのようなグラフにおける頂点の次数制約を導出する。
• Wagner の $K_5$-minor を含まないグラフの特徴付けと分離技術（例：$k$-分離）を適用し、低次数頂点と三角形数の分析を行う。
• 彩色論的議論と $2t$-彩色における二色パスの構成を用いて、$K_{t+2}$-minor が存在しないと仮定した場合に矛盾を導く。
• 新規なグローバル条件を導入：グラフが $m$ 条の辺と少なくとも $\frac{k-3}{2}m$ 個の三角形を含むならば、そのグラフは $K_k$-minor を含む（$k=8$ の場合は $K_{2,2,2,2,2}$ を含む）。
• 縮約操作とクリーク和を用いて $K_8$-minor を含まないグラフを分析し、特に $K_{2,2,2,2,2}$ が誘導部分グラフとして禁止されることの役割に注目する。
• $2t$-彩色と二色パスの概念を用いて、特定の彩色制約のもとで $K_{t+2}$-minor が存在しないことを証明し、矛盾に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $K_7$-minor を含まないグラフは、次数が 9 以下の頂点に接する辺で、高々 4 個の三角形に属するものを持つだろうか？
• RQ2 $K_8$-minor 含有のための三角形密度条件は、既知の反例 $K_{2,2,2,2,2}$ を超えて拡張可能だろうか？
• RQ3 $K_k$-minor を含まないグラフにおいて、$K_k$-minor を保証するために必要な辺ごとの最小三角形数は何か？
• RQ4 三角形にちょうど 3 個の辺を含む要素について、三角形密度に関する構造的結果をマトロイド minor に拡張可能だろうか？
• RQ5 これらの三角形に基づく条件は、minor 閉包グラフ族におけるグラフの彩色可能性および応力自由性にどのような意味を持つだろうか？

主な発見

• すべての $K_7$-minor を含まないグラフは $8$-彩色可能であり、すべての $K_8$-minor を含まないグラフは $10$-彩色可能である。これは Hadwiger の予想の弱化形を支持する。
• 本稿は Nevo の予想を解決した：すべての $K_7$-minor を含まないグラフは、次数が 9 以下の頂点に接する辺で、高々 4 個の三角形に属するものを持つ。
• $K_8$-minor を含まないグラフで最小次数が 11 である場合、次数 11 の頂点に接する辺で、高々 5 個の三角形に属するものが存在する。
• すべての辺が少なくとも 6 個の三角形に属するならば、そのグラフは $K_8$-minor を含むか、$K_{2,2,2,2,2}$ を誘導部分グラフとして含む。
• $m$ 条の辺と少なくとも $\frac{k-3}{2}m$ 個の三角形を含むグラフは、$3 \leq k \leq 7$ に対して $K_k$-minor を含み、$k=8$ の場合は $K_8$-minor を含むか $K_{2,2,2,2,2}$ を minor として含む。
• 本稿は、$K_{2,2,2,2,2}$ を誘導部分グラフとして含まない $K_8$-minor を含まないすべてのグラフに対して、高々 5 個の三角形に属する辺が存在することを証明し、この場合に対しても三角形密度条件を拡張した。