[論文レビュー] On trigonometric approximation of functions in the Lp norm

R. N. Mohapatra, Bogdan Szal|arXiv (Cornell University)|May 26, 2012

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、積分モジュラス連続性を用いて、$ L^p $-関数のフーリエ級数から導かれる線形作用素による三角関数近似の次数に関する鋭い上限を確立する。古典的結果を一般化し、和分行列に対する緩い条件のもとで、$ O(n^{-\beta}) $ の収束速度を証明する。特に、$ RBVS $、$ HBVS $、$ AMDS $ の系列を含む場合を含む。

ABSTRACT

In this paper we obtain degree of approximation of functions in Lp by operators associated with their Fourier series using integral modulus of continuity. These results generalize many know results and are proved under less stringent conditions on the infinite matrix.

研究の動機と目的

• フーリエ級数から導かれる線形作用素による $ L^p $-ノルムにおける三角関数近似の既知の結果を一般化し、より広いクラスの和分行列に対する収束速度の推定を拡張すること。
• 関数 $ f \in L^p $ の近似度を、$ S_k $ を部分フーリエ和とする作用素 $ T_n(f;x) = \sum_{k=0}^n a_{n,k} S_k(f;x) $ を用いて分析すること。
• 行列 $ (a_{n,k}) $ に対する最小限の仮定のもとで、収束速度 $ \|T_n(f) - f\|_{L^p} = O(n^{-\beta}) $ を確立すること。特に $ (a_{n,k}) \in RBVS $、$ HBVS $、または $ AMDS $ の場合。
• 積分モジュラス連続性と有界変動列に基づく枠組みを導入し、セザロ平均やリエス平均に関する以前の結果を統一的かつ拡張すること。
• 関数 $ f $ の滑らかさが $ \omega_p(f;\delta) = O(\delta^\alpha) $ で測られる場合、収束速度が $ f $ の滑らかさと行列 $ (a_{n,k}) $ の構造に依存することを示すこと。

提案手法

• 関数 $ f \in L^p $ のフーリエ級数の $ k $ 項部分和 $ S_k(f;x) $ を用いて、近似作用素 $ T_n(f;x) = \sum_{k=0}^n a_{n,k} S_k(f;x) $ を定義する。
• 関数 $ f $ の滑らかさを積分モジュラス連続性 $ \omega_p(f;\delta) $ で特徴づけ、$ \omega_p(f;\delta) = O(\delta^\alpha) $ であれば $ f \in \text{Lip}(\alpha,p) $ と定義する。
• ミンコフスキーの不等式とカーネル推定を用いて、カーネル $ K_n(u) = \sum_{k=0}^n a_{n,k} \frac{\sin((k+1/2)u)}{2\sin(u/2)} $ の $ L^1 $-ノルムによって $ \|T_n(f) - f\|_{L^p} $ を上から抑える。
• カーネル $ K_n(u) $ の $ L^1 $-ノルムを、$ [0,\pi/n] $ と $ [\pi/n, \pi] $ に分割して推定し、$ a_{n,k} $ 及びその差分の性質を用いる。
• アーベルの変形と有界変動条件（例：$ (k+1)^{-\beta}a_{n,k} \in HBVS $）を用いて、係数の変動を制御し、減衰速度を導出する。
• 補助的な三角多項式 $ t_n $（補題1より）を用いて、$ \|T_n(f) - f\|_{L^1} $ を近似成分と誤差成分に分解し、収束速度の分析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $ f \in L^p $ に対して、そのフーリエ級数から導かれる線形作用素 $ T_n(f;x) $ による $ L^p $-ノルムにおける近似の最適な次数は何か？
• RQ2 収束速度は、積分モジュラス連続性 $ \omega_p(f;\delta) $ で測られる $ f $ の滑らかさにどのように依存するか？
• RQ3 $ (a_{n,k}) $ の行列に $ RBVS $、$ HBVS $、$ AMDS $ のような条件が課された場合、$ \|T_n(f) - f\|_{L^p} = O(n^{-\beta}) $ が成り立つための条件は何か？
• RQ4 セザロ平均やリエス平均に対する古典的結果を、最小限の仮定のもとでより広いクラスの和分行列に一般化できるか？
• RQ5 係数 $ a_{n,k} $ 及びその差分 $ \Delta_k a_{n,k} $ は、近似誤差を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $ f \in \text{Lip}(\alpha,p) $ かつ $ 0 < \alpha \leq 1 $ のとき、$ (a_{n,k}) \in RBVS $ または $ HBVS $ の条件下で、作用素 $ T_n(f) $ に対して $ \|T_n(f) - f\|_{L^p} = O(n^{-\alpha}) $ が成り立つ。これはクアーデの1937年の結果を一般化する。
• $ (a_{n,k}) \in RBVS $ ならば、$ \|T_n(f) - f\|_{L^1} \ll (n+1)^{1-\alpha} a_{n,0} $ であり、$ (n+1)a_{n,0} = O(1) $ ならば $ \|T_n(f) - f\|_{L^1} = O(n^{-\alpha}) $ が成り立つ。
• $ p=1 $、$ \alpha=1 $、$ (a_{n,k}) \in HBVS $ かつ $ (n+1)a_{n,n} = O(1) $ のとき、$ \|T_n(f) - f\|_{L^1} = O(n^{-1}) $ を証明する。これはセザロ平均の既知の対数的ケースと一致する。
• $ (a_{n,k}) $ に対して $ HBVS $ または $ AMIS $ の条件が成り立つと、カーネルノルム $ \int_0^{\pi} |K_n(u)| du = O(1) $ が成立することが示され、近似誤差の上界を求める上で重要である。
• アーベルの変形と分解 $ \|T_n(f) - f\|_{L^1} \leq \|T_n(f) - \sum a_{n,k} t_k\|_{L^1} + \|\sum a_{n,k} t_k - f\|_{L^1} $ を用いることで、$ \|f - t_n\|_{L^1} $ の観点から誤差を正確に制御できる。
• $ p > 1 $ に対しても同様の結果が成り立ち、$ f \in \text{Lip}(\alpha,p) $ かつ同じ行列条件のもとで $ \|T_n(f) - f\|_{L^p} = O(n^{-\alpha}) $ が成立する。これはセザロ平均に対する既知の $ L^p $-結果を一般化する。