[論文レビュー] On tropical Kleene star matrices and alcoved polytopes

M. J. de la Puente|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、零対角実行列がKleeneスターよりも、そのトロピカル列生成が凸であることを示す初等的証明を提供し、トロピカル代数と凸幾何学の根本的な関係を確立する。主な貢献は、Kleeneスターパートの一種である正規冪等行列について、そのトロピカルノルムが列生成の超平面断面の半径に等しいことを示したことにより、アラコイド多面体およびその極値的構造に対する新しい計算手法を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we give a short, elementary proof of a known result in tropical mathematics, by which the convexity of the column span of a zero--diagonal real matrix $A$ is characterized by $A$ being a Kleene star. We give applications to alcoved polytopes, using normal idempotent matrices (which form a subclass of Kleene stars). For a normal matrix we define a norm and show that this is the radius of a hyperplane section of its tropical span.

研究の動機と目的

• トロピカル列生成の凸性をKleeneスターリング行列によって特徴づけること。
• この特徴づけを、組合せ的・幾何学的に重要な凸多面体のクラスであるアラコイド多面体に応用すること。
• 正規冪等行列に対してトロピカルノルムを定義し、そのトロピカル生成の超平面断面の半径と関係づけること。
• トロピカル演算を用いて、アラコイド多面体の極値点（頂点および擬似頂点）を計算する新しい手法を可能にすること。
• 多面体の表現を改善し、半径などの内在的幾何的不変量をトロピカル代数を用いて計算すること。

提案手法

• 零対角行列 $A$ がKleeneスター（すなわち $A = A^2$）であるための必要十分条件として、$\operatorname{span}(A)$ が凸であることを、初等的不等式を用いて証明する。
• 正規冪等行列に対して、$a_{ii} = 0$ かつ $a_{ij} \leq 0$ を満たすとき、トロピカルノルム $|||A||| = \max_{i,j} |a_{ij}|$ を定義する。
• 距離関数 $\operatorname{d}(p,q) = \max_{i,j} \{ |p_i - q_i|, |p_i - q_i - p_j + q_j| \}$ を用いて、超平面断面 $\operatorname{span}(A) \cap \{x_n = 0\}$ の半径が $|||A|||$ に等しいことを示す。
• 行列 $A_0$ を、各列 $j$ の各要素から $a_{nj}$ を引いて得られるものとして、$\operatorname{span}(A) = \operatorname{span}(A_0)$ であるという事実を用い、問題を $\{x_n = 0\}$ の超平面に還元する。
• 正規冪等行列の構造を活用して、生成内の点間のトロピカル距離をバウンドし、それらを行列ノルムに関連づける。
• 結果をアラコイド多面体に適用するため、その超平面断面がKleeneスターリング行列のトロピカル生成として得られることを示し、半径および極値点の計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 零対角行列のトロピカル列生成がいつ凸になるか？
• RQ2 正規冪等行列のトロピカルノルムは、そのトロピカル生成の幾何的不変量とどのように関係するか？
• RQ3 トロピカル代数を用いて、アラコイド多面体の半径および極値点を計算できるか？
• RQ4 正規行列について、行列ノルム $|||A|||$ と超平面断面 $\operatorname{span}(A) \cap \{x_n = 0\}$ の半径の関係は何か？
• RQ5 Kleeneスターリング行列の構造は、一般のトロピカル生成と比較して、アラコイド多面体の解析をどのように簡略化するか？

主な発見

• 零対角実行列 $A$ がKleeneスターであるための必要十分条件は、そのトロピカル列生成 $\operatorname{span}(A)$ が凸であることである。
• 正規冪等行列 $A$ について、トロピカルノルム $|||A|||$ は、超平面断面 $\operatorname{span}(A) \cap \{x_n = 0\}$ の半径に等しい。
• $A$ がさらに冪等的である場合、$|||A|||$ はアラコイド多面体 $C_A$ の半径に等しい。
• 超平面断面 $\operatorname{span}(A) \cap \{x_n = 0\}$ の半径は $|||A|||$ でバウンドされ、このバウンドはタイトである。
• 距離関数 $\operatorname{d}(p,q)$ は $\mathbb{R}^{n-1}$ 上にトロピカル距離を誘導し、集合 $S$ の半径は $\sup_{s \in S} \operatorname{d}(s,0)$ に等しい。
• 例9では $|||B||| = |||A||| = 10$ であり、両方の $\operatorname{span}(B) \cap \{x_4 = 0\}$ と $C_A$ の半径も10であることが示され、ノルム-半径の等式が確認された。