[論文レビュー] On two conjectures of Sierpi\'nski concerning the arithmetic functions $\sigma$ and $\phi$

Kevin Ford, Sergeĭ Konyagin|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Sierpińskiの2つの長年の予想を証明している：任意の正の整数kに対して、和-of-divisors関数σ(x) = mが正確にk個の解を持つような数mが存在する（定理1）、そして任意の偶数kに対して、Eulerのトーティエント関数φ(x) = mが正確にk個の解を持つようなmが存在する（定理2）。証明は、スイーブ法とほぼ素数の理論を用いて、Hypothesis H やDicksonの予想に基づく条件付き結果の制限を克服し、条件なしに解を構成する。

ABSTRACT

Let $\sigma(n)$ denote the sum of the positive divisors of $n$. We prove that for any positive integer $k$, there is a number $m$ for which the equation $\sigma(x)=m$ has exactly $k$ solutions, settling a conjecture of Sierpi\'nski from 1955. Additionally, it is shown that for every positive even $k$, there is a number $m$ for which the equation $\phi(x)=m$ has exactly $k$ solutions, where $\phi$ is Euler's function, making progress toward another conjecture of Sierpi\'nski from 1955.

研究の動機と目的

• 任意のkに対してσ(x) = mおよびφ(x) = mの解の個数に関するSierpińskiの予想を解決すること。
• すべてのk ≥ 1に対して、σ(x) = mが正確にk個の解を持つような解の存在を、条件なしに確立すること。
• すべての偶数kに対して、φ(x) = mが正確にk個の解を持つようなmが存在することを示し、ほぼ素数の新規応用を用いること。
• 前人研究の帰納的枠組みをスイーブ理論的手法と組み合わせることで、φ(x) = mのケースを扱うこと。

提案手法

• σ(x) = mおよびφ(x) = mの解の個数を制御できるように、乗法的および素数条件を満たす大きな素数(p_i,j)の特別な集合を構成する。
• 線形スイーブおよびBombieri–Vinogradov定理を適用し、(s−a)/2が大きな素因数を持つほぼ素数であるような素数sの密度の下界を確立する。
• H"olderの不等式およびコーシー–シュワルツ不等式を用いて、必要な条件を満たす有利な素数タプルの個数を推定する。
• 変数の乗法的構造に依存して、素数条件に違反するタプルの個数を推定するために、補題4を用いる。
• 集合P_jおよびJ_jを用いた再帰的数え上げ戦略を導入し、必要な素数性および互いに素である条件を満たす有効な構成の個数を推定する。
• B(1) = 1（つまりσ(x) = 1が正確に1つの解を持つ）であるという事実を、σ(x) = mの構成における重要な基点として活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のk ≥ 1に対して、σ(x) = mが正確にk個の解を持つような数mが存在するか？
• RQ2 任意の偶数kに対して、φ(x) = mが正確にk個の解を持つような数mが存在するか？
• RQ3 Sierpińskiの予想は、Hypothesis H やDicksonの予想といった未解決の仮定に依存せず、スイーブ法を用いて条件なしに証明可能か？
• RQ4 ほぼ素数の理論は、所望の解の個数を持つ乗法的算術関数の解を効果的に構成するために有効に用いることができるか？

主な発見

• すべてのk ≥ 1に対して、σ(x) = mが正確にk個の解を持つような数mが存在する。これは、予想2を条件なしに証明する。
• すべての偶数kに対して、φ(x) = mが正確にk個の解を持つような数mが存在する。これは、予想1の偶数ケースを確立する。
• Lemma 1またはLemma 2の条件を満たす2r個のタプル(p_i,j)の個数は、≫ x^r / (log x)^{5r−2} で下から抑えられ、必要な素数構成の存在を保証する。
• この方法は、xを割る可能性のある素数が特定のものに限られるように保証することで、σ(x) = mの解を効果的に構成する。これは、線形形式における素数性および合成数性の条件に依存する。
• 証明は、B(1) = 1であるという事実にきわめて依存しており、これはσ関数の帰納的構成における重要な基点である。
• すべての偶数kに対して、φ(x) = mが正確にk個の解を持つような解の存在が確立された。全予想（k ≥ 2）の完全な解決は、発展的なスイーブ技術を用いた近い将来の論文で達成される。