[論文レビュー] On two dimensional weight two odd representations of totally real fields

Andrew Snowden|ArXiv.org|May 26, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、完全実体上の奇数、重み2、2次元p進ガロア表現について、Kisin、Taylor、Khare-Wintenbergerの結果を拡張し、モジュラー性上昇定理および潜在的モジュラー性定理を確立する。特に、ある場所で非分岐または分解不能な表現—特に十分に非可約な表現—はGL₂型アーベル・多様体から生じることを示し、Fontaine-Mazur予想の新たなケースを証明する。

ABSTRACT

We say that a two dimensional p-adic Galois representation of a number field F is weight two if it is de Rham with Hodge-Tate weights 0 and -1 equally distributed at each place above p; for example, the Tate module of an elliptic curve has this property. The purpose of this paper is to establish a variety of results concerning odd weight two representations of totally real fields in as great a generality as we are able. Most of these results are improvements upon existing results. Three of our main results are as follows. (1) We prove a modularity lifting theorem for odd weight two representations, extending a theorem of Kisin to include representations which are not potentially crystalline. (2) We show that essentially any odd weight two representation is potentially modular, following the ideas of Taylor. (3) We show that one can lift essentially any odd residual representation to a minimally ramified weight two p-adic representation, using some ideas of Khare-Wintenberger. As an application of these results we show that if rho is a sufficiently irreducible odd weight two p-adic representation of a totally real field F and either F has odd degree or rho is indecomposable at some finite place away from p then rho occurs as the Tate module of a GL_2-type abelian variety. This establishes some new cases of the Fontaine-Mazur conjecture.

研究の動機と目的

• 潜在的クリスタリンでない奇数、重み2の完全実体上のガロア表現へのモジュラー性上昇定理の拡張。
• mod p還元においてややいのちの非可約性条件を満たす、ほぼ任意の奇数、重み2表現の潜在的モジュラー性の確立。
• 完全実体上の十分に非可約な奇数の残余表現が、最小限の分岐を持つ重み2p進ガロア表現に上昇可能であることを示すこと。
• ややいのちの体論的条件または局所的分解不能性条件を満たす場合、そのような表現がGL₂型アーベル・多様体のテートモジュールとして生じることを証明し、Fontaine-Mazur予想の新たなケースを検証すること。

提案手法

• p上の各素点における局所的性質を制御できるように、ガロア表現の変形理論を用いて上昇を構成する。
• 変形環に対するR = T定理を適用し、ガロア変形と自動形式の関係を確立する。
• 可解な降下技術を用いて、拡張が奇数次の場合に、ガロア拡張から基本体へのモジュラー形式の降下を実行する。
• 基本体の次数が偶数の場合の処理のため、基底変換とクaternion代数への移行を用い、ある有限素点での平方可積分性を保証する。
• 整合的系およびL関数の理論を用いて、関連するL関数の解析的性質を導出する。
• 重み1と重み2のヒルベルトモジュラー形式の合同関係を用いて、所望の性質を持つ上昇を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 潜在的クリスタリンでない奇数、重み2のガロア表現に対しても、モジュラー性上昇定理を拡張できるか？
• RQ2 完全実体上の奇数、重み2のガロア表現が、どのような条件下で潜在的にモジュラーになるか？
• RQ3 完全実体上の十分に非可約な奇数の残余表現は、常に最小限の分岐を持つ重み2p進ガロア表現に上昇可能か？
• RQ4 奇数、重み2のガロア表現が、GL₂型アーベル・多様体のテートモジュールとして生じる条件は何か？
• RQ5 重み2の表現がヒルベルトモジュラー固有形式に対応し、したがってアーベル多様体から生じるための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、潜在的クリスタリンでない奇数、重み2の表現に対してもモジュラー性上昇定理を証明し、Kisinの結果を拡張する。
• F(ζp)上でのmod p還元が非可約である任意の奇数、重み2の表現は、有限の基本体拡張の後でモジュラーになる、つまり潜在的にモジュラーであることが示される。
• 完全実体上の任意の奇数、非可約な残余表現は、最小限の分岐を持つ重み2p進ガロア表現に上昇可能である。
• 基本体の次数が奇数、またはある有限素点v∤pで表現が分解不能であるという条件下では、その表現はGL₂型アーベル・多様体のテートモジュールとして生じる。
• そのような表現のL関数はRe(s) > 3/2で収束し、ℂに有理型に拡張可能であり、期待される関数等式を満たすことが示される。
• 局所的型を制御した上昇を構成し、合同関係を用いて最小性とモジュラー性を保証することで、多くの場合に追加仮定の必要性を排除する。