[論文レビュー] On two higher Chow groups of schemes over a finite field

Satoshi Kondo, Seidai Yasuda|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体上の分離的で有限型のスキーム $ X $ に対して、高次チャウ群 $ CH_{-1}(X,1) $ と $ CH_{-2}(X,3) $ を計算し、$ X $ が固有でない場合にはこれらの群が消えることを証明する。$ X $ が固有の場合は、$ \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}(X) $ 上の対応する群と同型である。この結果はアクターの定理を一般化しており、モチーフ的ホモロジー、エタールコホロロジー、およびブロッホ＝カト＝ミルナー同型を用い、高次元の技術的還元にはパーシンの予想を用いる。

ABSTRACT

Given a separated scheme $X$ of finite type over a finite field, its higher Chow groups $CH_{-1}(X, 1)$ and $CH_{-2}(X, 3)$ are computed explicitly.

研究の動機と目的

• 有限体上の有限型スキーム $ X $ に対して、高次チャウ群 $ CH_{-1}(X,1) $ と $ CH_{-2}(X,3) $ を計算すること。
• 滑らかで固有なスキームに対してアクターの $ CH_{-1}(X,1) $ の結果を、$ \mathbb{F}_q $ 上の任意の連結な有限型スキームへ一般化すること。
• 適切な条件下で、負の次数におけるボレル＝ムーアモチーフ的ホモロジー群 $ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) $ の消滅結果を確立すること。
• モチーフ的ボレル＝ムーアホモロジーと $ \mathbb{Z}_\ell $-係数のエタールボレル＝ムーアホモロジーとの関係を確立し、$ i \leq -1 $、$ j \leq -1 $ の範囲で同型を示すこと。

提案手法

• ボレル＝ムーアモチーフ的ホモロジー群 $ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) = H_{i-2j}(z_j(X,\bullet)) $ を定義するために、ブロッホのサイクル複体 $ z_j(X,\bullet) $ を用いる。
• ロスト＝ヴェドヴィスキーによる経路を経由して、モチーフ的コホロロジーと $ \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell $-係数のエタールコホロロジーとの間のブロッホ＝カト＝ミルナー同型を適用する。
• ホッヒシュライダー＝サーレのスペクトル系列と重みの議論を用いて、エタールおよびモチーフ的設定におけるコホロロジーの消滅を分析する。
• 次元に関する帰納法と、開部分スキーム上の極限の議論を用いて、パーシンの予想を仮定して $ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) $ が $ i \leq -2 $ で消えることを証明する。
• コンパクト台付きエタールコホロロジーの双対を用いてエタールボレル＝ムーアホモロジーを定義する：$ H^\mathrm{BM,et}_i(X,\mathbb{Z}_\ell(j)) = \mathrm{Hom}_{\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell}(H^{i+1}_{\mathrm{et},c}(X,\mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell(-j)), \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell) $。
• 特に $ j \geq 2 $ のときの捩れ範囲におけるモチーフ的コホロロジーとエタールコホロロジーの関係を示すために、ゲイセッガー＝レヴィンの定理に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の有限型スキーム $ X $ に対して、高次チャウ群 $ CH_{-1}(X,1) $ の構造はいかなるものか？
• RQ2 $ CH_{-2}(X,3) $ が消えるか、$ \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}(X) $ 上の群と同型になる条件は何か？
• RQ3 有限体上のスキームに対して、負の次数におけるボレル＝ムーアモチーフ的ホモロジー群はどのように振る舞うか？
• RQ4 モチーフ的ホモロジーをどれほどまで負の次数においてエタールホモロジーと関連づけられるか？
• RQ5 $ i \leq -1 $、$ j \leq -1 $ の範囲で、モチーフ的ホモロジーとエタールホモロジーのボレル＝ムーアホモロジーの同型が成り立つか？

主な発見

• 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上の連結な有限型スキーム $ X $ に対して、$ j = -1, -2 $ のとき、$ X $ が固有であれば $ H^\mathrm{BM}_{-1}(X,\mathbb{Z}(j)) \cong H^\mathrm{BM}_{-1}(\mathrm{Spec}\,\mathcal{O}(X),\mathbb{Z}(j)) $ が成り立ち、そうでなければ消える。
• 高次チャウ群 $ CH_{-1}(X,1) $ と $ CH_{-2}(X,3) $ は明示的に計算される：$ X $ が固有でない場合には消え、$ X $ が固有で $ j = -1 $ のときは $ \mathbb{Z} $ と同型、$ j = -2 $ のときは $ \mathrm{Pic}(X) $ と同型である。
• $ i \leq -2 $ に対して、パーシンの予想を仮定すると、すべての $ j \leq -1 $ に対してボレル＝ムーアモチーフ的ホモロジー群 $ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) $ は消える。
• $ i \leq -2 $ ではエタールボレル＝ムーアホモロジー群 $ H^\mathrm{BM,et}_i(X,\mathbb{Z}_\ell(j)) $ は消え、$ i = -1 $ のとき、$ X $ が固有であれば $ \mathrm{Spec}\,\mathcal{O}(X) $ への押し出し写像が同型であり、そうでなければゼロである。
• $ i \leq -1 $、$ j \leq -1 $ の範囲で、$ H^\mathrm{BM}_i(X,\mathbb{Z}(j)) \otimes \mathbb{Z}_\ell \cong H^\mathrm{BM,et}_i(X,\mathbb{Z}_\ell(j)) $ なる自然な同型が存在する。必要に応じてパーシンの予想を用いる。
• 証明はバーチン型定理を避けており、アキターの研究とは独立しており、代わりにモチーフ的コホロロジー、エタールコホロロジー、およびブロッホ＝カト＝ミルナー同型に依存する。