[論文レビュー] On Two Kinds of Differential Operators on General Smooth Surfaces

Xilin Xie|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般の滑らかな曲面上に定義される2つの微分作用素、表面勾配およびリーマン接続勾配（Levi-Civita gradient）を導入し、厳密に分析する。これらの作用素を用いて、座標に依存しない一般化されたストークスの定理と微分恒等式を確立し、特に変形可能または固定された曲面上の流体-固体相互作用および渦度力学に適用可能な、曲面における連続体力学の座標不変な定式化を可能にする。

ABSTRACT

Two kinds of differential operators that can be generally defined on an arbitrary smooth surface in a finite dimensional Euclid space are studied, one is termed as surface gradient and the other one as Levi-Civita gradient. The surface gradient operator is originated from the differentiability of a tensor field defined on the surface. Some integral and differential identities have been theoretically studied that play the important role in the studies on continuous mediums whose geometrical configurations can be taken as surfaces and on interactions between fluids and deformable boundaries. The definition of Levi-Civita gradient is based on Levi-Civita connections generally defined on Riemann manifolds. It can be used to set up some differential identities in the intrinsic/coordiantes-independent form that play the essential role in the theory of vorticity dynamics for two dimensional flows on general fixed smooth surfaces.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間に埋め込まれた任意の滑らかな曲面上に、表面勾配およびリーマン接続勾配という2つの異なる微分作用素を定義・分析すること。
• 埋め込み空間の座標に依存しない、表面積分と境界積分を結びつける内在的な一般化ストークスの公式を導出すること。
• リーマン接続勾配を用いて、固定された滑らかな曲面上の2次元流れにおける渦度力学の基礎的微分恒等式を確立すること。
• 特に、曲面上の変形勾配およびひずみテンソルの表現に関して、先行研究における誤解を是正・明確化すること。
• 薄板、シェル、および変形可能な境界を持つ流体との相互作用に適用可能な、座標に依存しない内在的な連続体力学の枠組みを提供すること。

提案手法

• 表面座標に関するテンソル場の偏導関数に基づき、$ \overset{\Sigma}{\boldsymbol{\nabla}} \equiv \boldsymbol{g}^{l} \frac{\partial}{\partial x^{l}_{\Sigma}} $ として表面勾配作用素を定義する。
• 曲面がリーマン多様体として持つ構造に基づき、リーマン接続を用いてリーマン接続勾配を定義し、計量適合性およびねじれなしの性質を保証する。
• 全次元の勾配と表面勾配との関係を用いて、埋め込み座標を用いずに曲面上の積分が可能な、内在的な一般化ストークスの公式を導出する。
• 表面勾配を応用し、薄い連続体の運動量および角運動量保存則を導出し、Synge & Chien (1941) の古典的結果を回復する。
• 高階の共変微分の順序交換に伴い、リーマン・クリストッフェルテンソルを含む微分恒等式を確立し、ラプラシアンや二重回転作用素における曲率依存性を示す。
• 曲面上の内在的テンソル微積分を用いてひずみおよび変形テンソルを表現し、先行研究（例：Aris, 1962）における誤りを是正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の滑らかな曲面上のテンソル場に対して、埋め込み空間の座標に依存しない一貫性のある表面勾配作用素をどのように定義できるか？
• RQ2 表面積分と境界積分を結びつける、内在的な一般化ストークスの公式は何か？ そして、流体および固体力学にどのように応用できるか？
• RQ3 リーマン接続勾配作用素は、幾何学的および物理的解釈において、表面勾配とはどのように異なり、特に渦度力学においてどのような意味を持つのか？
• RQ4 高階の共変微分を適用した際に生じる微分恒等式は何か？ そして、ガウス曲率や平均曲率といった曲率項はどのように関与するか？
• RQ5 薄い連続体の変形およびひずみテンソルを、任意の滑らかな曲面上でどのように正しく定式化できるか？ また、先行研究における誤りは何か？

主な発見

• 表面勾配作用素により、曲面上の連続体力学における保存則を定式化するために不可欠な、内在的な一般化ストークスの公式を導出可能である。
• Aris (1962) が曲面上の2次元流れを扱う際に誤って仮定していた、変形勾配テンソルの対称性に関する根本的な誤りを是正した。
• 表面勾配を用いて、曲率に依存しない内在的形で変形可能曲面上のひずみテンソルを導出でき、Wu et al. (2005a) の結果と整合的であるが、より明確な幾何的根拠を持つ。
• リーマン接続勾配作用素を用いることで、微分の順序交換に伴いリーマン・クリストッフェルテンソルを含む微分恒等式が得られ、曲率項 $ K_G $ が高階作用素に明示的に現れることが示された。
• 固定された曲面上の2次元流れにおける運動量および渦度の支配方程式には、明示的な幾何的項（例：平均曲率およびガウス曲率）が含まれており、幾何学が曲面上の物理法則に直接影響することを示している。
• 恒等式 $ \boldsymbol{\nabla} \otimes (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\Phi}) + K_G(\boldsymbol{\Phi} + \boldsymbol{\Phi}^*) - K_G(tr\boldsymbol{\Phi})\boldsymbol{I} $ が導出され、曲率がテンソル微分恒等式に果たす役割が明確になった。