[論文レビュー] On two new operators in fractional calculus and application

J. Vanterler da C. Sousa, E. Capelas de Oliveira|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$ m\Psi $-Riemann-Liouvilleおよび$ m\Psi $-Hilfer微分に基づく、新しい分数階積分作用素、$ m\Psi $-分数階積分を導入する。作用素の有界性を確立し、Mittag-Leffler関数および非線形$ \Psi $-分数階ボルテラ積分方程式への応用を行い、$ \beta $-距離関数を用いて一意性を証明する。

ABSTRACT

Motivated by the ${ m \Psi}$-Riemann-Liouville $({ m \Psi-RL})$ fractional derivative and by the ${ m \Psi}$-Hilfer $({ m \Psi-H})$ fractional derivative, we introduced a new fractional operator the so-called $ m\Psi-$fractional integral. We present some important results by means of theorems and in particular, that the $ m\Psi-$fractional integration operator is limited. In this sense, we discuss some examples, in particular, involving the Mittag-Leffler $({ m M-L})$ function, of paramount importance in the solution of population growth problem, as approached. On the other hand, we realize a brief discussion on the uniqueness of nonlinear $\Psi$-fractional Volterra integral equation (${ m VIE}$) using $\beta-$distance functions.

研究の動機と目的

• 新しい分数階積分作用素、$ m\Psi $-分数階積分を、$ m\Psi $-Riemann-Liouvilleおよび$ m\Psi $-Hilfer微分に基づいて導入すること。
• $ m\Psi $-分数階積分の基本的性質、特にその有界性を確立すること。
• Mittag-Leffler関数による人口増加問題の解法への作用素の応用を示すこと。
• 非線形$ \Psi $-分数階ボルテラ積分方程式の解の一意性を、$ \beta $-距離関数を用いて分析すること。

提案手法

• $ m\Psi $-分数階積分は、$ m\Psi $-フレームワーク下での既存の分数階微分の一般化として定義される。
• 定理を用いた理論的分析により、$ m\Psi $-分数階積分作用素が有界であることを証明する。
• 人口増加のモデル化において、作用素の応用を説明するためにMittag-Leffler関数が主要な例として用いられる。
• 距離空間の枠組みにおいて、$ \beta $-距離関数を用いて、非線形$ \Psi $-分数階ボルテラ積分方程式の解の一意性を調査する。
• 統一的な$ m\Psi $-作用素構造の下で、既存の分数階微積分ツールを統合するフレームワークが構築される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして$ m\Psi $-微積分フレームワーク内に新しい分数階積分作用素を定義できるか？
• RQ2 提案された$ m\Psi $-分数階積分作用素の有界性特性は何か？
• RQ3 $ m\Psi $-分数階積分は、人口動態におけるMittag-Leffler関数にどのように応用できるか？
• RQ4 $ \beta $-距離関数は、非線形$ \Psi $-分数階ボルテラ積分方程式の解の一意性を保証できるか？

主な発見

• $ m\Psi $-分数階積分作用素が有界であることが証明され、応用における安定性および収束性が保証される。
• 人口増加モデルにおいて、Mittag-Leffler関数が中心的な解成分として現れる。
• $ m\Psi $-分数階積分をMittag-Leffler関数に応用することで、その実世界の力学系への関連性が示される。
• 固定点の枠組みにおいて、$ \beta $-距離関数を用いて、非線形$ \Psi $-分数階ボルテラ積分方程式の解の一意性が確立される。