[論文レビュー] On two-point boundary value problems for the Sturm-Liouville operator

A. S. Makin|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の複素数値ポテンシャルおよび二点境界条件を有するスツルム＝リウヴィル作用素のスペクトル的性質を調査し、その根関数系の完全性および基底性に注目する。特定の境界条件およびポテンシャルのクラスに対して、根関数系が $L_2(0,π)$ で完全であることを確立し、固有値の重複度がスペクトルパラメータの大きさに対して速く増加する場合には、基底を形成しない条件を提示する。

ABSTRACT

In this paper, we study spectral problems for the Sturm-Liouville operator with arbitrary complexvalued potential q(x) and two-point boundary conditions. All types of mentioned boundary conditions are considered. We ivestigate in detail the completeness property and the basis property of the root function system.

研究の動機と目的

• 任意の複素数値ポテンシャルおよび二点境界条件を有するスツルム＝リウヴィル作用素の根関数系の完全性および基底性を分析すること。
• 境界条件を非退化、強化正則、正則だが強化されていない、不規則のタイプに分類し、それぞれの下でのスペクトル的挙動を研究すること。
• 根関数系が $L_2(0,\pi)$ でシュワルツ基底を形成しない条件を特定すること、特に固有値の重複度が速やかに増加する場合に注目すること。
• 根関数系に任意の高次数の関連関数を含むようなポテンシャルの明示的構成を行い、基底性の失敗を示すこと。

提案手法

• 二点境界条件 $B_i(u) = 0$ で定義される $L_2(0,\pi)$ 上のスツルム＝リウヴィル作用素 $L = u'' - q(x)u$ を形式化する。
• 基本解 $c(x,\mu)$ および $s(x,\mu)$ を用いて特性行列式 $\Delta(\mu)$ を表現し、境界条件行列の小行列式 $A_{ij}$ を用いて表現する。
• 非退化条件の下で $|\mu| \to \infty$ における $\Delta(\mu)$ の漸近的解析を用い、スペクトルの離散性および根部分空間の次元の有界性を確立する。
• 逆スペクトル理論を用いて、所望のスペクトル重複度を実現するため、所与の零点重複度を持つペーリー＝ウィーナー空間 $PW_\pi^-$ 内の整関数を構成する。
• 整関数論の定理（例：定理9）を適用し、構成された特性行列式に対応する $L_2(0,\pi)$ ポテンシャルの存在を保証する。
• 固有値重複度 $m(\lambda_n)$ の $|\mu_n|$ に対する増加度を分析し、定理15を用いて基底性の欠如に関する条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャル $q(x)$ および境界条件にどのような条件下で、スツルム＝リウヴィル作用素の根関数系は $L_2(0,\pi)$ で完全のままであるか？
• RQ2 固有関数および関連関数の系がいつ $L_2(0,\pi)$ でシュワルツ基底を形成しなくなるか？
• RQ3 根関数系に任意の高次数の関連関数を含むようなポテンシャルを構成可能か？ その場合、基底性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 固有値重複度の増加率と根関数系の基底性の関係は何か？
• RQ5 $L_1(0,\pi)$ において、根関数系が基底であるか、そうでないかのポテンシャルの集合はどれほど稠密か？

主な発見

• すべての非退化二点境界条件に対して、スツルム＝リウヴィル問題のスペクトルは可算であり、唯一の極限点は無限大にあり、すべての根部分空間は有限次元である。
• すべての非退化境界条件に対して、固有関数および関連関数の系は $L_2(0,\pi)$ で完全かつ最小である。
• 根関数系に任意の高次数の関連関数を含むようなポテンシャル $q_1(x) \in L_2(0,\pi)$ が存在し、対応する固有値の重複度 $m(\lambda_n)$ は $c_1 \ln \mu_n \leq m(\lambda_n) \leq c_2 \ln \mu_n$ を満たす。
• ポテンシャル $q_2(x) \in L_2(0,\pi)$ に対して、固有値 $\tilde{\lambda}_n = \tilde{\mu}_n^2$ の重複度は $c_1 \ln |\tilde{\mu}_n| \leq m(\tilde{\lambda}_n) \leq c_2 \ln |\tilde{\mu}_n|$ を満たし、$|\operatorname{Im} \tilde{\mu}_n| \to \infty$ である。この場合にも、任意の高次数の関連関数が存在する。
• 根関数系に任意の高次数の関連関数を含むポテンシャルの集合は $L_1(0,\pi)$ で至る所稠密であり、その補集合に対しても同様である。
• もし $\lim_{n \to \infty} \frac{m(\lambda_n)}{\sqrt{|\mu_n|}} \neq 0$ ならば、定理15により、固有関数および関連関数の系は $L_2(0,\pi)$ でシュワルツ基底を形成しない。