[論文レビュー] On two problems concerning topological centers

Eli Glasner|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2007

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ひとこと要約

本稿は、位相的力学におけるトポロジカルセンターに関する2つの問題を解決する。第一に、無限離散群 Γ の Čech-Stone 係数の残差における任意の元に関する左乗法が Borel 可測でないことを、自由超フィルターの非可測性を用いて証明する。第二に、整数 ℤ の普遍的距離的コンパクト化 D に対して、D のトポロジカルセンターが、その代数的中心および ℤ の D への自然な像と一致することを示す。

ABSTRACT

Let G be an infinite discrete group and bG its Cech-Stone compactification. Using the well known fact that a free ultrafilter on an infinite set is nonmeasurable, we show that for each element p of the remainder bG G, left multiplication L_p:bG o bG is not Borel measurable. Next assume that G is abelian. Let D \subset \ell^\infty(G)$ denote the subalgebra of distal functions on G and let G^D denote the corresponding universal distal (right topological group) compactification of G. Our second result is that the topological center of G^D (i.e. the set of p in G^D for which L_p:G^D o G^D is a continuous map) is the same as the algebraic center and that for G=Z (the group of integers) this center coincides with the canonical image of G in G^D.

研究の動機と目的

• Michael Megrelishvili が提起した問題、すなわち βΓ の残差に属するどの元 p に対しても左乗法 Lₚ: βΓ → βΓ が Baire 1 可測であるかを特定すること。
• Mahmoud Filali が提起した問題、すなわちアーベル群 Γ に対して、普遍的距離的 Ellis 群 D(Γ) のトポロジカルセンターを同定すること。
• Γ = ℤ の場合に、D のトポロジカルセンターが代数的中心および ℤ の D への自然な像と一致することを確立すること。
• 測度論的議論を用いて、βΓ 上の左乗法写像の非 Borel 可測性を厳密に正当化すること。
• 定理 2.1 の元々の証明におけるギャップを埋めるために、連続な全射を Cantor 空間へ行う Borel 集合の普遍的可測性に関する補題を証明すること。

提案手法

• 無限集合上の自由超フィルターが {0,1}^Γ 上の積測度に関して非可測である、というよく知られた事実を用いる。
• βΓ から {0,1} への写像 φ = π₀∘ψ̂∘Lₚ を構成し、ここで ψ̂ は βΓ への軌道写像の拡張である。1 の逆像を Borel 集合として分析する。
• 動的システム (Ω, Γ) の包あらわし半群として βΓ を特定することに依存する。ここで Ω = {0,1}^Γ である。
• 写像 J(ω)(γ) = ω(γ⁻¹) による対合を用いた双対性の議論により、逆像集合を超フィルター p と関連付ける。
• 測度論的補題を用いて、Borel 集合の連続な全射による像が Borel であれば、普遍的可測であるはずであるが、これは自由超フィルターの非可測性と矛盾する。
• 距離的系の場合には、ℤ の普遍的距離的コンパクト化 D の構造を用い、連続な左乗法を誘導するのは ℤ 自身の要素に限ることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 βΓ ∖ Γ に属するどの要素 p に対して、左乗法写像 Lₚ: βΓ → βΓ が Borel 可測であるか？
• RQ2 アーベル離散群 Γ に対して、普遍的距離的 Ellis 群 D(Γ) のトポロジカルセンターは何か？
• RQ3 D(ℤ) のトポロジカルセンターは、代数的中心および ℤ の D への自然な像と一致するか？
• RQ4 βΓ がポーランド空間でないにもかかわらず、p ∈ βΓ ∖ Γ に対して Lₚ の非 Borel 可測性を厳密に確立できるか？
• RQ5 連続な全射 f: X → C を Cantor 空間へ行うとき、Borel 集合 B ⊂ X が f⁻¹(f(B)) = B を満たすならば、f(B) は普遍的可測であるか？

主な発見

• 任意の無限離散群 Γ に対して、βΓ ∖ Γ に属する任意の p に対して、左乗法は Borel 可測でない。これは、対応する超フィルターが積測度に関して非可測であるためである。
• ℤ の普遍的距離的コンパクト化 D のトポロジカルセンターは、D への ℤ の自然な像に正確に一致し、この集合は D の代数的中心とも一致する。
• Borel 集合 B ⊂ X が連続な全射 f: X → C を Cantor 空間へ行うとき、B = f⁻¹(f(B)) を満たすならば、f(B) は普遍的可測である、という補題を用いて、非 Borel 可測性の証明が完成する。
• 無限集合上の自由超フィルターの非可測性は、その特性関数 χ による像が {0,1}^Γ 内で Borel でないことを意味し、ゆえに Lₚ は Borel 可測でない。
• 写像 φ = π₀∘ψ̂∘Lₚ とその逆像 Q の構成により、Lₚ⁻¹({q ∈ βΓ : (qω₀)(e) = 1}) が Borel でないことが示され、結論に至る。
• この結果はアーベル群の場合にまで拡張可能であり、D(Γ) のトポロジカルセンターは代数的中心に一致し、ℤ の場合には ℤ の D への像に一致する。