[論文レビュー] ON TWO SCHEMES FOR FRACTIONAL DIFFUSION AND DIFFUSION-WAVE EQUATIONS

Bangti Jin, Raytcho Lazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 39被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、時間方向に1次および2次精度を達成する完全離散スキームを提案する。このスキームは、ガレルキン有限要素法と、後退オイラー法および2次後退差分法を組み合わせ、時間方向のCaputo微分を含む時間分数量拡散方程式および拡散波方程式を解くために用いられる。滑らかでない初期データを含む滑らかな初期データに対しても、最適な誤差推定が達成され、数値実験により高い精度と既存手法に対する競争力が確認されている。

ABSTRACT

We consider the initial/boundary value problem for the fractional diu- sion and diusion-wave equations involving a Caputo fractional derivative in time. We develop two simple fully discrete schemes based on the Galerkin nite element method and the implicit backward Euler method/second-order backward dierence method, and establish error estimates optimal with respect to the regularity of the initial data. These two schemes are rst and second-order accurate in time for both smooth and nonsmooth initial data. Extensive numerical experiments for one and two-dimension problems conrm the convergence analysis. A detailed comparison with several existing time stepping schemes is also performed. The numerical re- sults indicate that the proposed fully discrete schemes are accurate and robust for nonsmooth data, and competitive with existing schemes.

研究の動機と目的

• 時間方向のCaputo微分を含む時間分数量拡散および拡散波方程式に対する完全離散数値スキームの開発。
• 初期データの正則性に応じた最適な誤差推定の確保、滑らかでない場合を含む。
• 初期データの滑らかさにかかわらず、時間方向に1次および2次精度を維持するスキームの設計。
• 既存の時間ステップ法との詳細な比較を通じて、競争力および頑健性の評価。
• 1次元および2次元の空間次元における広範な数値実験を通じた理論的収束率の検証。

提案手法

• 変数係数および複雑な幾何形状に対応するため、空間離散化にガレルキン有限要素法を適用。
• 時間方向1次精度を達成するため、陰的後退オイラー法を適用。
• 時間方向の精度と安定性を向上させるために、2次後退差分法を用いる。
• 空間半離散化と時間ステップ法を組み合わせ、完全離散スキームを構築。
• 初期データの正則性に応じた最適な誤差推定を導出。
• 1次元および2次元問題にスキームを実装・テストし、理論的収束率の妥当性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない初期データを含む時間分数量拡散方程式において、滑らかでない初期データに対しても最適な収束率を維持する完全離散スキームを開発可能か？
• RQ2 提案スキームは、分数量拡散および拡散波問題における既存の時間ステップ法と比較して、精度および頑健性において優れているか？
• RQ3 初期データが正則性を欠く場合、特にCaputo分数量微分の文脈において、スキームの収束挙動はいかなるものか？
• RQ4 ガレルキン有限要素法と後退時間離散化の組み合わせは、異なる空間次元において安定かつ正確な解をもたらすか？
• RQ5 数値結果が、スキームに対して導出された理論的誤差推定をどの程度確認しているか？

主な発見

• 提案スキームは、滑らかでない初期データを含む両方の初期データに対して、時間方向に1次および2次精度を達成し、理論的期待と一致する。
• 初期データの正則性に応じた最適な誤差推定が確立され、初期データの正則性に応じた収束率が最適であることが示された。
• 1次元および2次元における数値実験により、滑らかでない解を含む両方の解に対して予測された収束率が確認された。
• 滑らかでない初期データに対しても頑健であることが確認され、他のスキームが性能を低下させる場合でも精度を維持した。
• 詳細な比較により、提案スキームが既存の時間ステップ法と比較して、精度および安定性の面で競争力があることが示された。
• 実装は安定的かつ効率的であり、多次元問題への実用的応用を支援する。