[論文レビュー] On unified preserving properties of kinetic schemes

Zhaoli Guo, Jiequan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2019

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 57被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Knudsen数εが小さいが有限な場合の連続体極限における運動論的スキームの漸近的精度を評価する新しい枠組みとして、統一的保存（UP）性質を導入する。AP（漸近的保存）概念を拡張し、修正方程式解析とチャップマン＝エンスコーグ展開を組み合わせることで、UPの順序が運動論的、流体力学的、数値的スケールの相互作用に依存することを示し、DUGKSのようなスキームが2次UPを達成する一方、CLRのようなスキームは界面再構築における衝突処理が不十分であるために失敗することを明らかにする。

ABSTRACT

The kinetic theory provides a physical basis for developing multiscal methods for gas flows covering a wide range of flow regimes. A particular challenge for kinetic schemes is whether they can capture the correct hydrodynamic behaviors of the system in the continuum regime (i.e., as the Knudsen number $ε\ll 1$ ) without enforcing kinetic scale resolution. At the current stage, {the main approach to analyze such a property is the asymptotic preserving (AP) concept, which aims to show whether a kinetic scheme reduces to a solver for the hydrodynamic equations as $ε o 0$, such as the shock capturing scheme for the Euler equations. However, the detailed asymptotic properties of the kinetic scheme are indistinguishable when $ε$ is small but finite under the AP framework}. In order to distinguish different characteristics of kinetic schemes, in this paper we introduce the concept of unified preserving (UP) aiming at assessing asmyptotic orders of a kinetic scheme by employing the modified equation approach and Chapman-Enskon analysis. It is shown that the UP properties of a kinetic scheme generally depend on the spatial/temporal accuracy and closely on the inter-connections among the three scales (kinetic scale, numerical scale, and hydrodynamic scale) and their corresponding coupled dynamics. Specifically, the numerical resolution and specific discretization of particle transport and collision determine the flow physics of the scheme in different regimes, especially in the near continuum limit. As two examples, the UP methodology is applied to analyze the discrete unified gas-kinetic scheme and a second-order implicit-explicit Runge-Kutta scheme in their asymptotic behaviors in the continuum limit.

研究の動機と目的

• Knudsen数εが小さいが有限な場合に、運動論的スキームの漸近的挙動の微細な差を区別できないAP（漸近的保存）フレームワークの限界を解消すること。
• 流体力学的領域における運動論的スキームの漸近的精度の順序を捉える、より洗練された分析ツールの開発。
• 数値的解像度および粒子輸送・衝突の離散化が、近い連続体極限における正しい流体力学的物理を回復する能力に与える影響の解明。
• 運動論的スケールの解像度を必要とせず、標準的な数値解像度下でナビエ＝ストークス挙動を正確に捉えられるかどうかを体系的に評価する手法の確立。

提案手法

• AP概念の拡張として、漸近的順序に焦点を当てた統一的保存（UP）性質を提唱。
• 修正方程式法を用いて、離散運動論スキームにおける主要な切り捨て誤差を導出し、流体力学的回復に影響する項を特定。
• 2次までのチャップマン＝エンスコーグ展開を用いて流体力学的モーメントを抽出し、Euler方程式およびナビエ＝ストークス方程式への回復における精度の順序を評価。
• 衝突項が細胞界面における分布関数再構築に果たす役割を分析し、衝突効果を無視すると高次精度が失われる理由を示す。
• DUGKSと1次CLRスキームの2つのスキームを比較し、それぞれの修正方程式を導出し、メッシュおよび時間刻みの変化に伴うUP順序を評価。
• 連続体極限における漸近的挙動を調査するため、Δt = O(ε^α)およびΔx = O(ε^β)（0.5 < α, β < 1）というスケーリング仮定を導入。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 APフレームワークのみで、連続体領域における異なる漸近的順序を持つ運動論的スキームを区別できるか？
• RQ2 Knudsen数εが小さいが有限な場合に、運動論的スキームの漸近的順序は何かに依存するか？
• RQ3 運動論的、流体力学的、数値的スケールの間の相互関係が、流体力学的方程式の回復にどのように影響するか？
• RQ4 一部のスキームは中程度の解像度でもナビエ＝ストークス解を捉えられないのはなぜか？界面再構築における衝突処理の役割は何か？
• RQ5 どのような条件下で、スキームが流体力学的極限において2次統一的保存（UP）精度を達成できるか？

主な発見

• 統一的保存（UP）性質は、AP概念を上回る洗練された漸近的精度の特徴付けを可能にし、流体力学的方程式への収束順序が異なるスキームの区別が可能になる。
• DUGKSスキームは2次UPを達成しており、これは標準的な数値解像度（Δt = O(ε^α), Δx = O(ε^β) かつ 0.5 < α, β < 1）下でも正しくナビエ＝ストークス挙動を回復できることを意味する。
• 1次CLRスキームは、界面再構築における衝突効果の欠如により、ナビエ＝ストークス解を捉えられず、結果として1次UPにとどまる。
• 2次UPを達成するためには、時間刻みが運動論的時間スケールを解像する必要がある（Δt = o(ε)）。これは、運動論的スケールの解像度がなければ、真正のマルチスケールスキームにはなり得ないことを示唆する。
• 解析により、高次漸近的精度を達成するためには、細胞界面における分布関数再構築に衝突効果を含める必要があることが確認された。
• 修正方程式解析により、CLRスキームでは時間離散化に起因する項O(ε^{1+α})が、2次チャップマン＝エンスコーグ係数f_h^{(2)}の決定を妨げ、結果として2次精度の喪失が生じることが判明した。