[論文レビュー] On uniform exponential growth for solvable groups

Emmanuel Breuillard|ArXiv.org|Feb 4, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限生成アーベル的群における一様指数的成長の新しいピンポン証明を提供し、このような群がいずれかの有限指数部分群において正の独立直径が3以下であるか、あるいはほとんどニルポテンツであることを示している。主な結果は、ゆっくりした指数的成長が有限指数部分群への移行において消えることであり、非ほとんどニルポテンツなアーベル的群の同値類において一様指数的成長が本質的であることを示している。

ABSTRACT

Using a theorem of J. Groves we give a ping-pong proof of Osin's uniform exponential growth for solvable groups. We discuss slow exponential growth and show that this phenomenon disappears as one passes to a finite index subgroup.

研究の動機と目的

• 有限生成アーベル的群における一様指数的成長の代替的で直接的な証明を提供すること。
• オシンの結果を強化し、有限指数部分群における正の独立直径を有界化すること。
• ゆっくりした指数的成長が有限指数部分群にわたって持続するかどうか、あるいは常に一様指数的成長に取って代わられるかを示すこと。
• レーマー予想を通じて群の成長と数論の関係を探索すること。

提案手法

• J. グローヴズの定理に基づくピンポン論法を用いて、アーベル的群における自由半群の生成を確立する。
• 自由半群がケイリー図においていつ出現するかを測る指標として、正の独立直径 $ d_{\text{group}}^+ $ を定義し、分析する。
• 行列群の語長の成長を有界化するために代数的・幾何的技法を適用する。
• 多項式環におけるユークリッド除法と再帰関係を用いて、既約多項式による剰余の個数を制御する。
• 固有値分解と行列式の上限を用いて、多項式空間における格子集合の体積を推定する。
• 群の成長率を多項式のマーラー測度に関連付けることで、群の成長と数論的予想を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomological または動的法による代わりに、直接的なピンポン論法によってアーベル的群における一様指数的成長を証明できるか？
• RQ2 非ほとんどニルポテンツなアーベル的群の有限指数部分群全体にわたって、正の独立直径 $ d_{\text{group}}^+ $ の最大値は何か？
• RQ3 ゆっくりした指数的成長（成長は指数的だがエントロピーが任意に小さい）は、有限指数部分群にわたって持続するのか、それとも常に一様指数的成長に取って代わられるのか？
• RQ4 アーベル的群の成長率は、定義多項式のマーラー測度の下限で有界化できるか？
• RQ5 正の独立直径が一様に有界であるという肯定的解答は、レーマー予想を示唆するか？

主な発見

• 任意の有限生成でほとんどニルポテンツでないアーベル的群 $ \Gamma $ に対して、$ d_{\Gamma_0}^+ \leq 3 $ を満たす有限指数部分群 $ \Gamma_0 $ が存在し、これによりエントロピーが少なくとも $ \frac{\log 2}{3} $ の一様指数的成長が成立する。
• 群 $ \Gamma $ のすべての有限指数部分群にわたって、正の独立直径 $ d_{\Gamma}^+ $ は一様に有界であり、その有界値は部分群に依存せず $ \Gamma $ のみに依存する。
• ゆっくりした指数的成長（成長は指数的だがエントロピーが任意に小さい）は、有限指数部分群にわたって持続できない。適切な有限指数部分群に移行すると、これは消滅する。
• 有限生成アーベル的群の代数的エントロピー $ S_{\Gamma} $ は $ \frac{\log 2}{d_{\Gamma}^+} $ で下から有界であり、したがって有限な $ d_{\Gamma}^+ $ は一様指数的成長を示唆する。
• 本論文は、群の成長と数論の間の関係を確立した。正の独立直径が一様に有界ならば、定義多項式のマーラー測度は1から離れていることになり、これによりレーマー予想が支持される。
• 既約多項式による剰余の集合の体積は、マーラー測度で有界な割合で増大し、これによりエントロピーの上限 $ \limsup (\# \Sigma^n)^{1/n} \leq m(\pi) $ が得られる。