[論文レビュー] On unipotent and nilpotent pieces for classical groups

Ting Xue|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的群におけるLusztigの幾何学的・表現論的枠組みによる単型部分群およびノルム部分群が、単型部分群の閉包関係に基づく組合せ論的MS部分群と一致することを確立する。正標数における単型部分群／ノルム部分群の同型類から零標数のそれらへの写像の閉じた公式を構成し、その纤维が単型（またはノルム）部分群に丁度一致することを証明する。また、これらの部分群における$ extbf{F}_{p^s}$-有理点の個数が、$p$ や $s$ に依存しない $p^s$ に関する多項式であることを示し、古典的群における主要な予想を確認する。

ABSTRACT

We show that the definition of unipotent (resp. nilpotent) pieces for classical groups given by Lusztig (resp. Lusztig and the author) coincides with the combinatorial definition using closure relations on unipotent classes (resp. nilpotent orbits). Moreover we give a closed formula for a map from the set of unipotent classes (resp. nilpotent orbits) in characteristic 2 to the set of unipotent classes in characteristic 0 such that the fibers are the unipotent (resp. nilpotent) pieces.

研究の動機と目的

• 古典的群におけるLusztigの幾何学的定義による単型部分群およびノルム部分群と、単型部分群の閉包関係に基づく組合せ論的MS部分群との同値性を確立すること。
• 正標数における単型部分群（またはノルム軌道）から零標数におけるそれらへの写像の閉じた公式を構成し、その纤维が単型（またはノルム）部分群に丁度一致するようにすること。
• 各単型またはノルム部分群における$ extbf{F}_{p^s}$-有理点の個数が、$p$ や $s$ に依存しない $p^s$ に関する多項式であることを証明し、[5]の予想を確認すること。
• 特殊部分群の理論を正標数に拡張し、その点数がWeyl群にのみ依存することを示し、[5]の記述6.9(a)を古典的群に対して検証すること。

提案手法

• 分割および分割の対に関する組合せ論的順序を用いて、単型部分群およびノルム軌道の閉包関係を定義し、これによりMS部分群を構成する。
• Springer対応を適用して、Weyl群の既約指標と単型部分群およびノルム軌道を同一視し、一様なパrametrizationを可能にする。
• Weyl群の指標対応を介して、正標数における単型／ノルム部分群の同型類から零標数のそれらへの持ち上げ写像$ ilde{ heta}$を定義する。
• 写像$ ilde{ heta}$を導入し、与えられた零標数の同型類への纤维が、正標数における単型またはノルム部分群に丁度一致することを保証する。
• 特異同型写像$SO(2n+1) o Sp(2n)$を特徴2で用いて、直交群およびシミプレクティック群における単型部分群を関連付け、一様な取り扱いを可能にする。
• 分割の対における閉包および優越順序条件を適用し、正標数における特殊部分群が単型／ノルム部分群の和集合であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lusztigの幾何学的に定義された古典的群における単型部分群は、単型部分群の閉包関係に基づく組合せ論的MS部分群と一致するか？
• RQ2 正標数における単型部分群から零標数の単型部分群への写像の閉じた公式は存在するか？ その纤维が単型部分群に丁度一致するか？
• RQ3 各単型またはノルム部分群における$ extbf{F}_{p^s}$-有理点の個数は、$p$ や $s$ に依存せず、$p^s$ に関する多項式であるか？
• RQ4 Weyl群の指標を用いて定義される正標数における特殊部分群は、単型またはノルム部分群の和集合であるか？ その点数はWeyl群にのみ依存するか？
• RQ5 特殊部分群の多項式的点数性は正標数に拡張可能か？ また、その依存関係は零標数におけるWeyl群依存性と一致するか？

主な発見

• Lusztigが定義した単型部分群は、古典的群における単型部分群の閉包関係に基づくMS部分群と一致する。
• Lusztigおよび著者が定義したノルム部分群は、ノルム軌道の閉包関係に基づくMS部分群と一致する。
• 特徴2における正標数の単型部分群から零標数の単型部分群への写像の閉じた公式を構成し、その纤维が単型部分群に丁度一致する。
• 各単型またはノルム部分群における$ extbf{F}_{p^s}$-有理点の個数は、$p$ や $s$ に依存しない $p^s$ に関する多項式である。これは[5]の記述6.8(a)を古典的群に対して確認する。
• 正標数における特殊部分群は、単型またはノルム部分群の和集合であり、その点数はWeyl群にのみ依存する $p^s$ に関する多項式である。これは[5]の記述6.9(a)を確認する。
• 特徴2における特殊同型写像$SO(2n+1) o Sp(2n)$により、直交群およびシミプレクティック群における単型部分群を同一視でき、点数の均一な取り扱いが可能になる。