[論文レビュー] On Unique Additive Representations of Positive Integers and Some Close Problems

Vladimir Shevelev|ArXiv.org|Nov 3, 2008

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の非負整数を $ n = m_r(k) + r m_r(l) $ の形に一意に表現することができるモーザー列 $\{m_r(n)\\/}$ に対する明示的公式および再帰的関係を導入し、関連する列 $ s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1 $ を研究する。この列が整数 $ n \equiv 1 \pmod{r} $、$ n \geq r+1 $ に対して一意な加法的表現を持つこと、およびジョゼフス＝グロアー問題との関連を示す。主な貢献は、これらの列に対する閉形式の分解と再帰的関係の特定であり、加法的数論および組合せ論への応用を含む。

ABSTRACT

Let, for r>=2, (m_r(n)),n>=0, be Moser sequence such that every nonnegative integer is the unique sum of the form s_k+rs_l. In this article we give an explicit decomposition formulas of such form and an unexpectedly simple recursion relation for Moser's numbers. We also study interesting properties of the sequence (rm_r(n-1)+1),n>=1, and its connection with some important problems. In particular, in the case of r=2 this sequence is surprisingly connected with the numbers solving the combinatorial Josephus-Groer problem. We pose also some open questions.

研究の動機と目的

• モーザー列 $\{m_r(n)\}$ の明示的分解公式を導出すること。これは整数を $ n = m_r(k) + r m_r(l) $ の形に一意に表現可能であることを保証する。
• $ m_r(n) $ に対する単純な再帰的関係を確立すること。これは既知の $ r=2 $ のモーザー＝ド・ブルイニュンの列を一般化する。
• 列 $ s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1 $ を調査し、整数 $ n \equiv 1 \pmod{r} $、$ n \geq r+1 $ に対して一意な加法的表現 $ n = s_k^{(r)} + r s_l^{(r)} $ を持つことを示すこと。
• $ s_n^{(2)} $ とジョゼフス＝グロアー問題との関連を探索し、その組合せ論的意義を明らかにすること。
• 関連列の算術的および分布的性質（素数性、合成数の密度など）を検討し、加法的表現に関する未解決問題を提示すること。

提案手法

• 生成関数と関数方程式の使用：$ m_r(n) $ に対しては $ f(x)f(x^r) = \frac{1}{1-x} $、$ s_n^{(r)} $ に対しては $ f(x)f(x^r) = \frac{x^{r+1}}{1-x^r} $ を用い、非負のテイラー係数を持つ解析関数空間内で列を一意に定義する。
• 明示的公式の導出：$ m_r(n) = \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i} $、ここで $ \nu_i $ は $ n $ の $ r $ 進数表現の桁である。また $ s_n^{(r)} = 1 + \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i+1} $、ここで $ \nu_i $ は $ n-1 $ の $ r $ 進数表現の桁である。
• ディオファントス方程式の唯一の解の確立：$ m_r(k) + r m_r(l) = n $ および $ s_k^{(r)} + r s_l^{(r)} = N $ に対して、$ k,l $ はそれぞれ $ n $ および $ N-1 $ の $ r $ 進数表現の桁パターンから再構成可能である。
• 生成関数の恒等式を用いて、$ 3a + 2bn $ の形の等差数列が $ s_k^{(2)}(a,b) + 2 s_l^{(2)}(a,b) $ の形に一意に表現可能であることを構成する。
• 整数 $ N \equiv 1 \pmod{r} $、$ r+1 \leq N \leq r^{2t+1}+1 $ と格子点 $[1,r^t] \times [1,r^t]$ の間の全単射写像を、一意な分解から得られる座標 $ k,l $ を用いて定義する。
• 桁に基づく再構成と合同算術（例：$ 4^k \equiv 1 \pmod{3} $）を用いて、$ a^{(c)}(n) = 2m_2(n) + c $ の列に無限個の合成数が存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーザー列 $ m_r(n) $ を特徴づける明示的公式および再帰的関係は何か？これらは一意な加法的表現 $ n = m_r(k) + r m_r(l) $ を保証する。
• RQ2 列 $ s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1 $ はジョゼフス＝グロアー問題とどのように関連しているか？特に $ r=2 $ の場合に注目する。
• RQ3 任意の奇数 $ c $ に対して、列 $ a^{(c)}(n) = 2m_2(n) + c $ に無限個の合成数が存在するか？これは素数に基づく加法的表現にどのような含意を持つのか？
• RQ4 すべての偶数整数を一意に二進加法的表現で表せる最小の列 $\{t_n\}$ は何か？その密度は？
• RQ5 格子点 $[1,r^t] \times [1,r^t]$ の点の置換の中で、ユークリッド旅行セラー問題の経路長を最小化または最大化するのはどれか？

主な発見

• 列 $ m_r(n) $ には明示的公式 $ m_r(n) = \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i} $ が存在する。ここで $ \nu_i $ は $ n $ の $ r $ 進数表現の桁である。この公式により、$ n = m_r(k) + r m_r(l) $ の形に一意に分解可能であり、$ k,l $ は $ n $ の偶数桁目および奇数桁目の桁パターンから得られる。
• 列 $ s_n^{(r)} = r m_r(n-1) + 1 $ は $ s_n^{(r)} = 1 + \sum_{i \geq 0} \nu_i r^{2i+1} $ を満たす。ここで $ \nu_i $ は $ n-1 $ の $ r $ 進数表現の桁である。また、任意の $ N \equiv 1 \pmod{r} $、$ N \geq r+1 $ に対して、一意な表現 $ N = s_k^{(r)} + r s_l^{(r)} $ が存在する。
• $ r=2 $ の場合、列 $ s_n^{(2)} $ はジョゼフス＝グロアー問題と直接関連しており、OEIS の A088442 および A090569 と一致する。
• 列 $ a^{(c)}(n) = 2m_2(n) + c $ は任意の奇数 $ c $ に対して無限個の合成数を含む。これは $ 4 $ 進数表現における桁パターンの合同算術を用いて証明される。
• 列 $\{t_n\}$ は $\{s_n(1,1)\}$ と $\{s_n(1,2)\}$ を重複して 1 を二度繰り返し結合して得られる。この列はすべての偶数 $ N $ を $ N = t_k + t_l $ の形に一意に表現可能であり、すべての偶数を一意に表現できるより疎な列が存在しないとされるため、最小性が予想されている。
• 整数 $ N \equiv 1 \pmod{r} $、$ r+1 \leq N \leq r^{2t+1}+1 $ から格子点 $[1,r^t] \times [1,r^t]$ への写像は、一意な分解から得られる座標 $ k,l $ を用いて全単射であり、このような整数は $ r^{2t} $ 個存在する。