[論文レビュー] On Uniqueness And Existence of Conformally Compact Einstein Metrics with Homogeneous Conformal Infinity

Gang Li|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$(2k+1)$-球面上の$Σ^{2k+1}$に$ΣΥ(k+1)$-不変計量を備えた conformal infinity を持つ非正曲率をもつ共形的コンpaktoEinstein (CCE) 計量の存在および一意性を確立する。測地線座標における退化ODEの境界値問題への還元と連続法を用いて、共形無限遠が球面計量に近い場合には、そのようなCCE計量は等長変換を除いて一意であることを証明し、$S^3$および$S^{2k+1}$に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we show that for a generalized Berger metric $\hat{g}$ on $S^3$ close to the round metric, the conformally compact Einstein (CCE) manifold $(M, g)$ with $(S^3, [\hat{g}])$ as its conformal infinity is unique up to isometries. For the high-dimensional case, we show that if $\hat{g}$ is an $ ext{SU}(k+1)$-invariant metric on $S^{2k+1}$ for $k\geq1$, the non-positively curved CCE metric on the $(2k+1)$-ball $B_1(0)$ with $(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ as its conformal infinity is unique up to isometries. In particular, since in \cite{LiQingShi}, we proved that if the Yamabe constant of the conformal infinity $Y(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ is close to that of the round sphere then any CCE manifold filled in must be negatively curved and simply connected, therefore if $\hat{g}$ is an $ ext{SU}(k+1)$-invariant metric on $S^{2k+1}$ which is close to the round metric, the CCE metric filled in is unique up to isometries. Using the continuity method, we prove an existence result of the non-positively curved CCE metric with prescribed conformal infinity $(S^{2k+1}, [\hat{g}])$ when the metric $\hat{g}$ is $ ext{SU}(k+1)$-invariant.

研究の動機と目的

• $(2k+1)$-球体上に、所与の$Σ^{2k+1}$共形無限遠をもつ非正曲率をもつ共形的コンパクトEinstein (CCE) 計量の一意性を確立すること。
• 共形無限遠が$ΣΥ(k+1)$-不変で、球面計量に近い場合に、そのようなCCE計量の存在を証明すること。
• $S^3$にBerger計量を用いた一意性結果を、$ΣΥ(k+1)$-不変計量をもつ高次元球面$S^{2k+1}$へ拡張すること。
• 球面計量のYamabe定数がその値に近い場合、任意のCCE埋め込みが自動的に単連結かつ非正曲率をもつこと、したがって一意性が成立することを示すこと。
• 連続法を用いて、$\lambda_0$に収束する一意のパラメータ族$g^\lambda$のCCE計量を構成し、$C^{k,\alpha}$位相におけるコンパクト性と収束を用いて存在を証明すること。

提案手法

• $g$の中心から境界への測地線に沿った測地線座標において、Einstein方程式を3つの2階退化楕円型ODEの系に還元する。
• $r$を重心からの距離として、測地線定義関数$x = e^{-r}$を用い、境界付近および中心での解析に適した計量の形に変換する。
• パラメータ族$g^\lambda$（$\lambda_j \to \lambda_0$）を考察する連続法を適用し、$\lambda=1$が球面計量に対応する出発点とする。
• 自然な測地線座標と指数写像を用いてゲージ固定条件を課し、$g^{\lambda_j}$の列の一様収束を保証する。
• $[0,1]$上でのODE解$y_i^j(x)$およびその導関数に対して、一様な$C^{2,\alpha}$および$C^k$バウンドを確立し、Arzelà–Ascoliの定理と楕円型正則性を用いて収束を可能にする。
• $g^{\lambda_j}$の列が点付きCheeger–Gromov位相でコンパクトであること、および極限計量の滑らかさを用いて、$\lambda_0$における解の存在を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(2k+1)$-球体上に、$\u03a3^{2k+1}$および$\u03a3Υ(k+1)$-不変共形無限遠をもつCCE計量は、等長変換を除いて一意か？
• RQ2 連続法を用いて、$\u03a3^{2k+1}$および$\u03a3Υ(k+1)$-不変共形無限遠をもつ非正曲率CCE計量の存在を証明できるか？
• RQ3 $S^3$にBerger計量を用いた一意性結果は、$\u03a3Υ(k+1)$-不変計量をもつ高次元球面$S^{2k+1}$へ拡張可能か？
• RQ4 Yamabe定数は、CCE埋め込みが単連結かつ非正曲率をもつことを保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 径方向ODE形式を用いて、共形無限遠および重心付近でのEinstein方程式の振る舞いをどのように制御できるか？

主な発見

• $S^3$に一般化されたBerger計量$\hat{g}$が球面計量に近い場合、4次元球体上でのCCE計量は等長変換を除いて一意であり、PedersenおよびGraham–Leeの構成と一致する。
• $S^{2k+1}$に$\u03a3Υ(k+1)$-不変計量$\hat{g}$が球面計量に近い場合、$(2k+1)$-球体上での非正曲率CCE計量は等長変換を除いて一意である。
• 連続法により、$\lambda=1$から出発し$\lambda_0$まで延長することで、$\u03a3^{2k+1}$および$\u03a3Υ(k+1)$-不変共形無限遠をもつ非正曲率CCE計量を構成することができた。
• $g^{\lambda_j}$の列は$C^{k,\alpha}$位相で極限計量$g^{\lambda_0}$に収束し、これは同じ共形無限遠をもつ滑らかで非正曲率のCCE計量である。
• $[0,1]$上でのODE解$y_i^j(x)$の導関数に対する一様バウンドにより、コンパクト性が保証され、収束する部分列の抽出が可能となり、存在性が証明される。
• $g^{\lambda_0}$は$x=0$で滑らかな展開をもち、Einstein方程式を満たし、$x^2g^{\lambda_0}$は$C^{2,\alpha}$で境界まで滑らかに拡張される。