[論文レビュー] On Uniqueness of Conformally Compact Einstein Metrics with Homogeneous Conformal Infinity

Gang Li|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、4次元球面内の非正曲率をもつ共形的コンパクトなアインシュタイン計量が、境界におけるベルジャーメトリクスを共形的無限大として持つ場合、条件 $\frac{1}{4} < \frac{\lambda_1}{\lambda_2} < 4$ の下で一意的であることを確立する。重心からの測地線に 沿ったアインシュタイン方程式の漸近的解析と、対称性およびキリングベクトル場の拡張を活用し、著者らは、このような計量が等長変換を除いて一意的であり、曲率が非正の場合にはペデルセンの構成と一致することを証明する。

ABSTRACT

In this paper we show that for a Berger metric $\hat{g}$ on $S^3$, the non-positively curved conformally compact Einstein metric on the $4$-ball $B_1(0)$ with $(S^3, [\hat{g}])$ as its conformal infinity is unique up to isometries and it is the metric constructed by Pedersen \cite{Pedersen}. In particular, since in \cite{LiQingShi}, we proved that if the Yamabe constant of the conformal infinity $Y(S^3, [\hat{g}])$ is close to that of the round sphere then any conformally compact Einstein manifold filled in must be negatively curved and simply connected, therefore if $\hat{g}$ is a Berger metric on $S^3$ with $Y(S^3, [\hat{g}])$ close to that of the round metric, the conformally compact Einstein metric filled in is unique up to isometries.

研究の動機と目的

• 4次元球面に所定の同次的共形的無限大をもつ共形的コンパクトなアインシュタイン計量のグローバルな一意性を確立すること。
• 漸近的アインシュタイン計量展開を用いて、境界上の共形キリングベクトル場を内部多様体上のキリングベクトル場へ拡張すること。
• 対称性および曲率の制約の下で、唯一のこのような計量は等長変換を除いてペデルセンのものに一致することを示すこと。
• 共形的無限大のヤマベ定数が球面のそれと近い場合、埋め込まれた多様体が一意に決定されることを証明すること。

提案手法

• 重心からの測地的定義関数 $x = Ce^{-r}$ を用いて、アインシュタイン方程式を径方向測地線に沿った境界値問題に還元する。
• アインシュタイン計量の漸近的展開技術を適用し、$\partial M$ 上の共形キリングベクトル場が $M$ 上の漸近的キリングベクトル場へ拡張されることを示す。
• 径方向形式のアインシュタイン方程式の構造を用いて、削減された常微分方程式系の解の差の符号解析に基づく背理法を用いる。
• 一意的な重心 $p_0$ の存在を用いて、すべての等長変換が $p_0$ を固定することを保証し、径方向対称性への還元を可能にする。
• 解の差の符号比較と積分を用いて、境界値問題 $(\ref{equn_BergerEinstein01})-(\ref{equn_BergerBV01})$ を解析し、一意性を証明する。
• 非正曲率の下で、共形キリング場がキリング場へ拡張されることを保証するため、Wang (2020) の定理3.2に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルジャーメトリクスを共形的無限大として持つ4次元球面に、非正曲率をもつ共形的コンパクトなアインシュタイン計量が高々一つ存在するか？
• RQ2 曲率および対称性の仮定の下で、境界上の共形キリングベクトル場は内部多様体上のキリングベクトル場へ拡張可能か？
• RQ3 削減された常微分方程式系の解の一意性は、アインシュタイン計量のグローバル一意性を意味するか？
• RQ4 比 $\lambda_1/\lambda_2$ がどのような条件下で、共形的コンパクトなアインシュタイン計量が等長変換を除いて一意的か？

主な発見

• ベルジャーメトリクスを $S^3$ 上に持つ4次元球面に、非正曲率をもつ共形的コンパクトなアインシュタイン計量が存在するための必要十分条件は、$\frac{1}{4} < \frac{\lambda_1}{\lambda_2} < 4$ であり、このとき高々一つの計量が存在し、等長変換を除いて一意的である。
• $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ が1に近い場合、計量は一意的であり、グレゴリーとリー（1991）の摂動解と一致する。
• 断面曲率が非正の場合、唯一の計量は明示的にペデルセンの構成によって与えられる。
• 漸近的アインシュタイン計量展開と曲率の仮定により、$\partial M$ 上の共形キリングベクトル場が $M$ 上のキリングベクトル場へ拡張可能であることが保証される。
• 境界値問題 $(\ref{equn_BergerEinstein01})-(\ref{equn_BergerBV01})$ は、導関数がゼロでない区間における解の差の符号解析により、高々一つの解しか持たないことが証明される。
• 重心を中心とする測地的球面は、キリングベクトル場によって生成される等長群に関して不変な同次空間である。